東京工業大学 2018年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y z$ 空間内の一辺の長さが1の立方体

{(x, y, z) ∣ 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1, 0 ≦ z ≦ 1}

を $Q$ とする。点 $X$ は頂点 $A (0, 0, 0)$ から出発して $Q$ の辺上を1秒ごとに長さ1だけ進んで隣の頂点に移動する。 $X$ が $x$ 軸， $y$ 軸， $z$ 軸に平行に進む確率はそれぞれ $p$ ， $q$ ， $r$ である。ただし

p ≧ 0, q ≧ 0, r ≧ 0, p + q + r = 1

である。 $X$ が $n$ 秒後に頂点 $A (0, 0, 0)$ ， $B (1, 1, 0)$ ， $C (1, 0, 1)$ ， $D (0, 1, 1)$ にある確率をそれぞれ $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ ， $d_{n}$ とする。

(1) $a_{n + 2}$ を $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ ， $d_{n}$ と $p$ ， $q$ ， $r$ を用いて表せ。

(2) $a_{n} - b_{n} + c_{n} - d_{n}$ を $p$ ， $q$ ， $r$ ， $n$ を用いて表せ。

(3) $a_{n}$ を $p$ ， $q$ ， $r$ ， $n$ を用いて表せ。

出典：東京工業大学 2018年度前期日程理系第5問

方針

1回の移動は選んだ座標の $0, 1$ を入れ替える操作である。2秒後に $A$ に戻るには，2回の移動で反転した座標の組を調べれば (1) が出る。(2) は $y$ 軸方向に動いた回数の偶奇で符号が決まることを使い，二項定理で偶数回と奇数回の確率差を求める。(3) は $x, y, z$ 各方向に動いた回数がすべて偶数である確率であり，偶奇を取り出す因子 ${1 + (- 1)^{N}} /2$ を展開して求める。

解答

(1)

$n$ 秒後に $A$ にいて $n + 2$ 秒後にも $A$ にいるには，続く2回で同じ軸方向に進めばよい。その確率は $p^{2} + q^{2} + r^{2}$ である。

$n$ 秒後に $B (1, 1, 0)$ にいるとき，2秒で $A$ に移るには $x$ 軸方向と $y$ 軸方向に1回ずつ進めばよく，その確率は $2 pq$ である。同様に $C$ から $A$ へは確率 $2 p r$ ， $D$ から $A$ へは確率 $2 q r$ である。したがって $a_{n + 2} = (p^{2} + q^{2} + r^{2}) a_{n} + 2 pq b_{n} + 2 p r c_{n} + 2 q r d_{n}$ である。

(2)

$n$ が奇数のとき， $X$ は $A, B, C, D$ のいずれにもいないので $a_{n} = b_{n} = c_{n} = d_{n} = 0$ である。

$n$ が偶数のときを考える。このとき到達可能な頂点は，座標の和が偶数である $A, B, C, D$ に限られる。 $n$ 秒間に $y$ 軸方向へ進んだ回数を $Y$ とする。頂点 $A, C$ では $y$ 座標は $0$ ，頂点 $B, D$ では $y$ 座標は $1$ であるから， $a_{n} - b_{n} + c_{n} - d_{n}$ は， $Y$ が偶数である確率から $Y$ が奇数である確率を引いたものに等しい。よって二項定理より

j = 0 \sum n (- 1)^{j}_{n} C_{j} q^{j} (1 - q)^{n - j} = (1 - 2 q)^{n}

である。以上を合わせると $a_{n} - b_{n} + c_{n} - d_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{2} (1 - 2 q)^{n}$ である。

(3)

$n$ 秒間に $x, y, z$ 軸方向へ進んだ回数をそれぞれ $X, Y, Z$ とする。 $n$ 秒後に $A$ にいることは， $X, Y, Z$ がすべて偶数であることと同値である。

整数 $N$ に対して ${1 + (- 1)^{N}} /2$ は， $N$ が偶数のとき $1$ ，奇数のとき $0$ である。したがって $a_{n}$ は $\frac{1 + ( - 1 ) ^{X}}{2} \cdot \frac{1 + ( - 1 ) ^{Y}}{2} \cdot \frac{1 + ( - 1 ) ^{Z}}{2}$ の平均に等しい。これを展開する。たとえば $(- 1)^{X}$ の平均は，1回ごとに $x$ 軸方向なら符号が変わり，それ以外なら符号が変わらないので $(1 - 2 p)^{n}$ である。同様に，

(- 1)^{X} (- 1)^{Y} (- 1)^{Z} (- 1)^{X + Y} (- 1)^{X + Z} (- 1)^{Y + Z} (- 1)^{X + Y + Z} : (1 - 2 p)^{n}, : (1 - 2 q)^{n}, : (1 - 2 r)^{n}, : (2 r - 1)^{n}, : (2 q - 1)^{n}, : (2 p - 1)^{n}, : (- 1)^{n}

となる。よって

a_{n} = \frac{1}{8} {1 + (1 - 2 p)^{n} + (1 - 2 q)^{n} + (1 - 2 r)^{n} + (2 p - 1)^{n} + (2 q - 1)^{n} + (2 r - 1)^{n} + (- 1)^{n}}

である。これは同値に

a_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{4} {1 + (1 - 2 p)^{n} + (1 - 2 q)^{n} + (1 - 2 r)^{n}} 0 (n が偶数のとき), (n が奇数のとき)

と表せる。

東京工業大学 2018年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2018年度
理系数学第5問