東京工業大学 2018年度理系数学第2問解答・解説

問題

次の問に答えよ。

(1) $35 x + 91 y + 65 z = 3$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ を一組求めよ。

(2) $35 x + 91 y + 65 z = 3$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の中で $x^{2} + y^{2}$ の値が最小となるもの，およびその最小値を求めよ。

出典：東京工業大学 2018年度前期日程理系第2問

方針

式を $5$ と $13$ で割った余りに分けて調べる。まず $5$ で割った余りから $y \equiv 3 (mod 5)$ を得る。次に $y = 5 m + 3$ として代入し， $13$ で割った余りから $x \equiv - 4 (mod 13)$ を得る。この2条件は $65 z$ で調整できるため十分でもある。あとは各剰余類で絶対値が最小の $x, y$ を選べば $x^{2} + y^{2}$ の最小が決まる。

解答

(1)

35 (- 4) + 91 (- 2) + 65 \cdot 5 = - 140 - 182 + 325 = 3

であるから，例えば $(x, y, z) = (- 4, - 2, 5)$ が求める整数の組である。

(2)

方程式を $5$ で割った余りで考えると， $35 x$ と $65 z$ は $5$ で割り切れ， $91 \equiv 1 (mod 5)$ であるから $y \equiv 3 (mod 5)$ である。よって $y = 5 m + 3$ とおける。これをもとの方程式に代入すると $35 x + 91 (5 m + 3) + 65 z = 3$ であり，整理して $5$ で割ると $7 x + 91 m + 13 z = - 54$ となる。これを $13$ で割った余りで考えると $91 m$ と $13 z$ は $13$ で割り切れるので $7 x \equiv - 54 (mod 13)$ である。ここで $- 54 \equiv - 2 (mod 13)$ ，また $7 \cdot 2 \equiv 1 (mod 13)$ だから $x \equiv - 4 (mod 13)$ を得る。

逆に $x \equiv - 4 (mod 13)$ ， $y \equiv 3 (mod 5)$ を満たす整数 $x, y$ に対しては， $35 x + 91 y - 3$ は $65$ で割り切れる。したがって $z = (3 - 35 x - 91 y) /65$ とおけば整数 $z$ が定まり，もとの方程式を満たす。

よって $x^{2} + y^{2}$ を最小にするには， $x \equiv - 4 (mod 13)$ の中で $∣ x ∣$ を最小にし， $y \equiv 3 (mod 5)$ の中で $∣ y ∣$ を最小にすればよい。前者は $x = - 4$ ，後者は $y = - 2$ である。したがって最小となる組は $(x, y, z) = (- 4, - 2, 5)$ であり，そのときの最小値は

x^{2} + y^{2} = (- 4)^{2} + (- 2)^{2} = 20

である。

東京工業大学 2018年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2018年度
理系数学第2問