東京工業大学 2018年度理系数学第3問解答・解説

問題

方程式

e^{x} (1 - sin x) = 1

について，次の問に答えよ。

(1) この方程式は負の実数解を持たないことを示せ。また，正の実数解を無限個持つことを示せ。

(2) この方程式の正の実数解を小さい方から順に並べて $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ とし， $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ とおく。このとき極限値 $lim_{n \to \infty} S_{n} / n^{2}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2018年度前期日程理系第3問

方針

方程式を $sin x = 1 - e^{- x}$ と見て，負の範囲では $sin x$ と $1 - e^{- x}$ の大小を比較する。正の範囲では $h (x) = e^{x} (1 - sin x)$ の増減を調べ，周期ごとに根が何個あるかを確定する。根は各区間 $(2 mπ, 2 mπ + π)$ に高々2個で， $m ≧ 1$ ではちょうど2個ある。得られた根の位置評価から $a_{k}$ は $π k$ との差が一定範囲に収まることを示し，和をはさみうちで評価する。

解答

(1)

方程式は $sin x = 1 - e^{- x}$ と同値である。まず $x < 0$ とする。 $x ≦ - 1$ のときは $1 - e^{- x} < - 1 ≦ sin x$ である。また $- 1 < x < 0$ のときは $e^{- x} > 1 - x$ より $1 - e^{- x} < x$ であり，さらに $sin x > x$ であるから，やはり $sin x > 1 - e^{- x}$ である。したがって $x < 0$ では方程式は成り立たず，負の実数解を持たない。

次に $h (x) = e^{x} (1 - sin x)$ とおく。 $h$ は連続であり， $h^{'} (x) = e^{x} (1 - sin x - cos x)$ である。 $m$ を $0$ 以上の整数とする。区間 $(2 mπ, 2 mπ + π /2)$ では $sin x + cos x > 1$ なので $h^{'} (x) < 0$ ，区間 $(2 mπ + π /2, 2 mπ + π)$ では $sin x + cos x < 1$ なので $h^{'} (x) > 0$ である。また

h (2 mπ) = e^{2 mπ}, h (2 mπ + π /2) = 0, h (2 mπ + π) = e^{2 mπ + π}

である。また $2 mπ + π < x < 2 (m + 1) π$ では $sin x ≦ 0$ であり， $x > 0$ なら $h (x) > 1$ だから，この区間には解がない。したがって $m = 0$ では $x = 0$ と $π /2 < x < π$ にある1個の正の解があり， $m ≧ 1$ では区間 $(2 mπ, 2 mπ + π /2)$ と $(2 mπ + π /2, 2 mπ + π)$ にそれぞれ1個ずつ正の解がある。よって正の実数解は無限個ある。

(2)

(1) の増減から， $m ≧ 1$ に対して，正の解は $2 mπ < a_{2 m} < 2 mπ + \frac{π}{2}, 2 mπ + \frac{π}{2} < a_{2 m + 1} < 2 mπ + π$ を満たす。また $a_{1}$ は $(π /2, π)$ にある。したがって，すべての正の整数 $k$ について，ある一定の正の数 $C$ を用いて $π k - C < a_{k} < π k + C$ とできる。例えば $C = π$ とすれば十分である。

よって

π k = 1 \sum n k - n C < S_{n} < π k = 1 \sum n k + n C

である。ここで $\sum_{k = 1}^{n} k = n (n + 1) /2$ だから，両辺を $n^{2}$ で割ると

\frac{π}{2} \cdot \frac{n + 1}{n} - \frac{C}{n} < \frac{S _{n}}{n ^{2}} < \frac{π}{2} \cdot \frac{n + 1}{n} + \frac{C}{n}

である。 $n \to \infty$ とすると左右はいずれも $π /2$ に近づくので，

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n ^{2}} = \frac{π}{2}

である。

東京工業大学 2018年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2018年度
理系数学第3問