東京工業大学 2018年度
理系数学 第4問

解答

(1)

直線 $l$ は $(s,0,s)$ と表され，方向ベクトルは $(1,0,1)$ である。したがって $H_t$ は $P_t(t/\sqrt{2},0,t/\sqrt{2})$ を通り，法線ベクトル $(1,0,1)$ を持つ平面であるから$x+z=\sqrt{2}t$である。

$L_{\theta }$ 上の点は $(2\cos \theta ,\sin \theta ,z)$ と表される。これが $H_t$ 上にあるためには$2\cos \theta +z=\sqrt{2}t$である。よって交点の $z$ 座標は$z=\sqrt{2}t-2\cos \theta$である。

(2)

軸 $l$ 上で $V$ に含まれる部分は $|t|\leqq 2\sqrt{2}$ である。固定した $t$ に対し，平面 $H_t$ 内で中心 $P_t$ の円板が $V\cap H_t$ に含まれる最大半径を $r(t)$ とする。任意の $l$ 軸回転体の $H_t$ による断面は中心 $P_t$ の円板であり，その半径は $r(t)$ 以下である。逆に，各 $t$ で半径 $r(t)$ の円板を取って得られる回転体は $V$ に含まれるので，求める最大体積は

である。

まず側面 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ との距離を調べる。(1) より，この側面と $H_t$ の交点は$Q_{\theta }=(2\cos \theta ,\sin \theta ,\sqrt{2}t-2\cos \theta )$と表される。$X=\cos \theta$ とおくと，$-1\leqq X\leqq 1$ であり，

である。したがって，側面までの距離の2乗は，二次式 $t^2+1+7X^2-4\sqrt{2}tX$ の $-1\leqq X\leqq 1$ における最小値である。

この二次式の軸は $X=2\sqrt{2}t/7$ である。よって

となる。なお，平面 $z=6$，$z=-6$ までの $H_t$ 内での距離はそれぞれ $6\sqrt{2}-t$，$6\sqrt{2}+t$ であり，$|t|\leqq 2\sqrt{2}$ ではいずれも側面までの距離より大きいので，最大円板を制限しない。

したがって最大体積は，偶関数性を用いて

である。