東京工業大学 2018年度
理系数学 第1問

解答

(1)

$\text{(I)}$ が実数解を持たないので $a^2<4$ であり，その2解は複素平面上で

に対応する。同様に $\text{(II)}$ が実数解を持たないので $b^2<8$ であり，その2解は

に対応する。

$a=b$ のとき，これら4点はいずれも直線 $X=-a/2$ 上にある。よって，すべて同一直線上にある。

$a\ne b$ のときを考える。実軸上の点 $M(h,0)$ から $\text{(I)}$ の2解までの距離の2乗は $h^2+ah+1$，$\text{(II)}$ の2解までの距離の2乗は $h^2+bh+2$ である。したがって $h^2+ah+1=h^2+bh+2$ となるように $h=1/(a-b)$ とおけば，4点はすべて $M$ を中心とする同一円周上にある。

ゆえに同一円周上にある場合，その中心は$\left(\frac{1}{a-b},0\right)$であり，半径は$\sqrt{\frac{1}{(a-b{)}^2}+\frac{a}{a-b}+1}$である。

(2)

まず3つの方程式がいずれも実数解を持たない条件は$a^2<4,b^2<8,c^2<12$である。

さらに6個の解がすべて同一円周上にあるとする。このとき，$\text{(I)}$，$\text{(II)}$ の4解も同一円周上にある。もし $a=b$ なら，(1) よりこの4点は同一直線上にあり，しかも $\text{(I)}$ と $\text{(II)}$ は定数項が異なるので4点は相異なる。1つの円と1つの直線の共有点は高々2点であるから，これは不可能である。よって $a\ne b$ である。

このとき (1) より，$\text{(I)}$，$\text{(II)}$ の4解を通る円の中心は $M(h,0)$，ただし $h=1/(a-b)$ である。$\text{(III)}$ の解から $M$ までの距離の2乗は $h^2+ch+3$ であるから，これが $\text{(I)}$ の解から $M$ までの距離の2乗 $h^2+ah+1$ に等しいことが必要十分である。すなわち$h^2+ch+3=h^2+ah+1$であり，これは $(c-a)h+2=0$ と同値である。$h=1/(a-b)$ を代入すると$c-a+2(a-b)=0$すなわち $a-2b+c=0$ である。

以上より，求める必要十分条件は$a^2<4,b^2<8,c^2<12,a\ne b,a-2b+c=0$である。実際，これらが成り立てば $\text{(I)}$，$\text{(II)}$ は (1) の円上にあり，最後の等式から $\text{(III)}$ の2解も同じ円上にある。