東京工業大学 2017年度
理系数学 第5問

解答

(1)

方程式 $x^2+cx+1=0$ の判別式は $c^2-4$ である。

$-2<c<2$ のとき，2解は$\frac{-c+\sqrt{4-c^2}i}{2},\frac{-c-\sqrt{4-c^2}i}{2}$である。どちらも絶対値の2乗は$\frac{c^2}{4}+\frac{4-c^2}{4}=1$であり，しかも実数ではないので $1,-1$ ではない。したがって2解はともに $T$ 上にある。

逆に，2解がともに $T$ 上にあるなら，どちらの解も $1,-1$ ではなく，実数解ではない。よって判別式は負であり，$c^2-4<0$である。したがって求める必要十分条件は$-2<c<2$である。

(2)

$F(x)=0$ の解がすべて $T$ 上にあるとする。$F(x)$ は実係数多項式であり，$T$ 上の点 $1,-1$ は除かれているので，解は非実数である。したがって，解は共役な組$\alpha ,\overline{\alpha },\beta ,\overline{\beta }$として並べられる。

これらは単位円上にあるから$\alpha \overline{\alpha }=1,\beta \overline{\beta }=1$である。また $\alpha +\overline{\alpha }$，$\beta +\overline{\beta }$ は実数である。そこで

とおくと，$c_1,c_2$ は実数であり，

である。よって$F(x)=(x^2+c_{1}x+1)(x^2+c_{2}x+1)$を満たす実数 $c_1,c_2$ が存在する。

(3)

(1)，(2) より，$F(x)=0$ の解がすべて $T$ 上にあることは，ある実数 $c_1,c_2$ が存在して$-2<c_1<2,-2<c_2<2$かつ$F(x)=(x^2+c_{1}x+1)(x^2+c_{2}x+1)$となることと同値である。係数を比較すると

である。

ここで $u=c_1,v=c_2$ とおく。条件は

である。まず $-2<u<2,-2<v<2$ より$-4<a<4$である。固定した $a$ に対して $v=a-u$ とおくと，$u$ は$-2<u<2,-2<a-u<2$を満たす範囲を動く。この範囲で$uv=u(a-u)$である。二次関数 $u(a-u)$ は $u=a/2$ で最大値 $a^2/4$ をとる。また端では一方が $2$ または $-2$ に近づくので，最小値は達しないが$uv>2|a|-4$である。したがって$2|a|-4<c_1{c}_2\leqq \frac{a^2}{4}$である。

よって求める必要十分条件は$-4<a<4,2|a|-2<b\leqq \frac{a^2}{4}+2$である。

座標平面では，横軸を $a$，縦軸を $b$ として $-4<a<4$ の範囲だけを見る。下側の境界は折れ線 $b=2|a|-2$ であり，これは含まないので破線で描く。上側の境界は放物線 $b=a^2/4+2$ であり，これは含むので実線で描く。求める範囲は，この破線の上側かつ放物線の下側の領域である。ただし $a=\pm 4$ の端点は含まない。