東京工業大学 2017年度理系数学第2問解答・解説

問題

実数 $x$ の関数

f (x) = \int_{x}^{x + \frac{π}{2}} \frac{∣ sin t ∣}{1 + sin ^{2} t} d t

の最大値と最小値を求めよ。

出典：東京工業大学 2017年度前期理系第2問

方針

被積分関数 $g (t) = ∣ sin t ∣/ (1 + sin^{2} t)$ は周期 $π$ を持ち，さらに $g (π - t) = g (t)$ である。したがって $f$ も周期 $π$ を持ち，長さ $π /2$ の補区間との関係 $f (x + π /2) = I - f (x)$ が使える。まず $0 ≦ x ≦ π /2$ で $f^{'} (x) = g (x + π /2) - g (x)$ の符号を調べ，最大値を求める。次に1周期全体の積分 $I$ を計算し，補区間の関係から最小値を得る。

解答

$g (t) = ∣ sin t ∣/ (1 + sin^{2} t)$ とおく。 $g (t + π) = g (t)$ であるから， $f$ は周期 $π$ を持つ。また

I = \int_{0}^{π} g (t) d t

とおくと，長さ $π /2$ の2つの区間が1周期を分けるので $f (x + π /2) = I - f (x)$ である。

まず $0 ≦ x ≦ π /2$ で考える。この範囲では，区間 $[x, x + π /2]$ は $[0, π]$ に含まれるので絶対値を外せる。したがって

f^{'} (x) = \frac{cos x}{1 + cos ^{2} x} - \frac{sin x}{1 + sin ^{2} x} = \frac{( cos x - sin x ) ( 1 - sin x cos x )}{( 1 + sin ^{2} x ) ( 1 + cos ^{2} x )}

である。ここで $0 ≦ sin x cos x ≦ 1/2$ だから， $1 - sin x cos x > 0$ である。よって $f^{'} (x)$ の符号は $cos x - sin x$ の符号と同じであり， $f$ は $0 ≦ x < π /4$ で増加し， $π /4 < x ≦ π /2$ で減少する。したがってこの範囲での最大値は $f (π /4)$ である。

置換 $u = cos t$ により

f (π /4) = \int_{π /4}^{3 π /4} \frac{sin t}{1 + sin ^{2} t} d t = \int_{- 2 /2}^{2 /2} \frac{d u}{2 - u ^{2}} = \frac{1}{2} lo g 3

である。

次に $I$ を求める。同じ置換で

I = \int_{0}^{π} \frac{sin t}{1 + sin ^{2} t} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{d u}{2 - u ^{2}} = 2 lo g (1 + 2)

である。

$0 ≦ x ≦ π /2$ で $f (x)$ の最小値は端点での値 $I /2$ であり，補区間の関係から $f (x + π /2)$ の最小値は $I - f (π /4)$ である。したがって全体での最大値は $\frac{1}{2} lo g 3$ であり，最小値は

2 lo g (1 + 2) - \frac{1}{2} lo g 3 = \frac{1}{2} lo g \frac{( 1 + 2 ) ^{2}}{3}

である。

東京工業大学 2017年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

東京工業大学 2017年度
理系数学第2問