問題
次の条件 (i)，(ii) をともに満たす正の整数 をすべて求めよ。
(i) の正の約数は12個。
(ii) の正の約数を小さい方から順に並べたとき，7番目の数は12。
ただし， の約数には1と も含める。
出典：東京工業大学 2017年度 前期 理系 第1問
方針
正の約数を小さい順に とおく。約数の組の対応から であり，特に となる。 から と絞り， を用いて を有限個調べる。最後に約数の個数が12個であることと，12より小さい約数がちょうど6個であることを確認する。
解答
の正の約数を小さい順にとする。約数は小さいものと大きいものを掛け合わせると になるので，である。特に であり，条件 (ii) より だからである。
ここで とおくと， であり， は正の整数である。したがって を調べればよい。正の約数の個数を と書くと，
である。よって，約数の個数が12個になる可能性があるのはである。
それぞれについて，12より小さい正の約数を調べる。
12が7番目の約数であるためには，12より小さい正の約数がちょうど6個でなければならない。したがってである。
以上より，求める正の整数はである。