問題
を1以上の実数とする。図のような長方形の折り紙 が机の上に置かれている。ただし ， である。 を辺 上の点とし， とする。頂点 を持ち上げて と一致するように折り紙を一回折ったとき，もとの長方形 からはみ出る部分の面積を とする。
(1) を と で表せ。
(2) とする。 が から まで動くとき， を最大にするような の値を求めよ。
% 図は省略なお配布された白紙を自由に使ってよい。
方針
長方形を座標平面に置き，折り目を と の垂直二等分線として表す。折り返しはこの直線に関する対称移動なので，点 の移り先を式で書ける。はみ出しは， では右辺 から出る場合だけが問題になり，折り目が底辺 に達するか右辺 に達するかで分かれる。 では上辺 から出る部分を，折り返す前の三角形の面積として求める。最後に では に限定され，得た式を微分して最大点を求める。
解答
座標をと定める。このとき である。
(1)
まず とする。折り目は と の垂直二等分線であるから，その方程式はである。また，点 を折り返した点を とすると
である。
まず の場合を考える。この折り目は左辺 と交わり，底辺 との交点はである。もし なら，折り返される三角形の像はもとの長方形内に収まるので である。
次にとする。このとき折り目は右辺 とで交わる。右辺からはみ出す部分の面積は，折り返す前の長方形内で となる部分の面積に等しい。底辺 上で となる点を とすると，である。したがって，はみ出す部分は三角形 と同じ面積を持つ。よって
である。
のときは，折り目は であり，折り返した部分は長方形内に収まるから である。また のときも，折り目は となり，折り返した部分は長方形内に収まるから である。
最後に の場合を考える。このとき折り目は上辺 とで交わり，底辺 とで交わる。ここで かつ だから，後者の点は底辺上にある。はみ出しは上辺 から出る部分である。折り返す前に となる点の境界はであり，この直線は と を通る。したがって上へはみ出す部分の面積は三角形 の面積に等しく，
である。
以上をまとめると，
である。
(2)
のとき である。 ではだから，(1) の式より
である。また では である。
で微分するとである。したがって となる内部の点はの正の解，すなわちである。 はこの点の前で正，後で負となるので， を最大にする はである。