東京工業大学 2014年度理系数学第4問解答・解説

問題

点 $P (t, s)$ が $s = 2 t^{2} - 2 t$ を満たしながら $x y$ 平面上を動くときに，点 $P$ を原点を中心として $4 5^{\circ}$ 回転した点 $Q$ の軌跡として得られる曲線を $C$ とする。さらに，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $D$ とする。

(1) 点 $Q (x, y)$ の座標を， $t$ を用いて表せ。

(2) 直線 $y = a$ と曲線 $C$ がただ1つの共有点を持つような定数 $a$ の値を求めよ。

(3) 図形 $D$ を $y$ 軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積 $V$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2014年度前期日程理系第4問

方針

45度回転の座標公式から媒介変数表示を得る。 $y$ 座標は $t$ の二次式になるので，水平線との共有点数は頂点で判定する。体積は $y$ 軸に垂直な断面で見る。固定した $y$ に対する2つの媒介変数 $t_{1}, t_{2}$ を用い，内外半径の二乗差 $x_{2}^{2} - x_{1}^{2}$ を根の和と差で整理して積分する。

解答

(1)

原点を中心とする $4 5^{\circ}$ 回転により

x = \frac{t - s}{2}, y = \frac{t + s}{2}

である。 $s = 2 t^{2} - 2 t$ を代入すると，

x = - t^{2} + \frac{3}{2} t, y = t^{2} - \frac{1}{2} t

である。

(2)

(1)より，直線 $y = a$ と曲線 $C$ の共有点は $t^{2} - \frac{1}{2} t = a$ を満たす $t$ に対応する。左辺は $t^{2} - \frac{1}{2} t = (t - \frac{1}{2 2})^{2} - \frac{1}{8}$ である。回転は1対1の対応なので，この二次方程式の実数解の個数が共有点の個数に等しい。したがって $a < - \frac{1}{8}$ なら0個， $a = - \frac{1}{8}$ なら1個， $a > - \frac{1}{8}$ なら2個である。共有点がただ1つとなるのは $a = - \frac{1}{8}$ である。

(3)

$x$ 軸との交点は $y = t^{2} - \frac{1}{2} t = 0$ より $t = 0, \frac{1}{2}$ である。この範囲で $y ≦ 0$ であり，また $\frac{d x}{d t} = - 2 t + \frac{3}{2} > 0$ であるから，曲線は $(0, 0)$ から $(1, 0)$ まで右へ進む。

$- \frac{1}{8} ≦ y ≦ 0$ を固定し，方程式 $t^{2} - \frac{1}{2} t = y$ の2つの解を $t_{1} < t_{2}$ とする。解と係数の関係より

t_{1} + t_{2} = \frac{1}{2}, t_{2} - t_{1} = \frac{1}{2} + 4 y

である。また (1) から $x + y = 2 t$ であるので，対応する2つの $x$ 座標を $x_{1} < x_{2}$ とすると

x_{2} - x_{1} = 2 (t_{2} - t_{1}) = 1 + 8 y, x_{2} + x_{1} = 2 (t_{1} + t_{2}) - 2 y = 1 - 2 y

となる。

したがって，高さ $y$ における回転体の断面積は $π (x_{2}^{2} - x_{1}^{2}) = π (1 - 2 y) 1 + 8 y$ である。よって

V = π \int_{- 1/8}^{0} (1 - 2 y) 1 + 8 y d y = \frac{π}{32} \int_{0}^{1} (5 - u) u d u (u = 1 + 8 y) = \frac{π}{32} (5 \cdot \frac{2}{3} - \frac{2}{5}) = \frac{11 π}{120}

である。

東京工業大学 2014年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2014年度
理系数学第4問