東京工業大学 2014年度理系数学第1問解答・解説

問題

3以上の奇数 $n$ に対して， $a_{n}$ と $b_{n}$ を次のように定める。

a_{n} = \frac{1}{6} k = 1 \sum n - 1 (k - 1) k (k + 1), b_{n} = \frac{n ^{2} - 1}{8}

(1) $a_{n}$ と $b_{n}$ はどちらも整数であることを示せ。

(2) $a_{n} - b_{n}$ は4の倍数であることを示せ。

出典：東京工業大学 2014年度前期日程理系第1問

方針

まず $(k - 1) k (k + 1) = k^{3} - k$ を用いて和を計算し， $a_{n} = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) n ( n + 1 )}{24}$ に直す。 $a_{n}$ は4個の連続整数の積が24で割り切れることから整数とし， $b_{n}$ は $n = 2 m + 1$ とおいて三角数に帰着する。(2)は同じ $m$ 表示で差を $4$ 倍の整数として書く。

解答

(1)

$(k - 1) k (k + 1) = k^{3} - k$ であるから，

k = 1 \sum n - 1 (k - 1) k (k + 1) = k = 1 \sum n - 1 (k^{3} - k) = {\frac{( n - 1 ) n}{2}}^{2} - \frac{( n - 1 ) n}{2} = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) n ( n + 1 )}{4}

である。したがって $a_{n} = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) n ( n + 1 )}{24}$ となる。4個の連続整数 $n - 2, n - 1, n, n + 1$ の積には3の倍数が1つ含まれ，さらに4個連続する整数の中には4の倍数が1つ，または2で割って2余る数と偶数が1つずつ含まれるので，8の倍数も含まれる。したがってこの積は $3 \cdot 8 = 24$ で割り切れる。よって $a_{n}$ は整数である。

また， $n$ は3以上の奇数なので $n = 2 m + 1$ $(m$ は1以上の整数 $)$ とおける。このとき

b_{n} = \frac{( 2 m + 1 ) ^{2} - 1}{8} = \frac{m ( m + 1 )}{2}

であり， $m$ と $m + 1$ の一方は偶数であるから $b_{n}$ は整数である。

(2)

(1)で得た式から

a_{n} - b_{n} = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) n ( n + 1 )}{24} - \frac{n ^{2} - 1}{8} = \frac{( n - 1 ) ( n + 1 ) ^{2} ( n - 3 )}{24}

である。 $n = 2 m + 1$ とおくと，

a_{n} - b_{n} = \frac{( 2 m ) ( 2 m + 2 ) ^{2} ( 2 m - 2 )}{24} = 4 \cdot \frac{m ( m - 1 ) ( m + 1 ) ^{2}}{6}

となる。連続する3整数 $m - 1, m, m + 1$ の積は6で割り切れるので， $\frac{m ( m - 1 ) ( m + 1 ) ^{2}}{6}$ は整数である。したがって $a_{n} - b_{n}$ は4の倍数である。

東京工業大学 2014年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2014年度
理系数学第1問