東京工業大学 2014年度
理系数学 第2問

解答

(1)

$t>0$ であるから，$a=2$ の場合の不等式は$e^t-1\geqq t{e}^{t/2}$と同値であり，さらに正の数 $e^{t/2}$ で割ると$e^{t/2}-e^{-t/2}\geqq t$と同値である。

$h(t)=e^{t/2}-e^{-t/2}-t$ とおく。$h(0)=0$ であり，$h^{\prime }(t)=\frac{1}{2}\left(e^{t/2}+e^{-t/2}\right)-1$である。相加相乗平均より $e^{t/2}+e^{-t/2}\geqq 2$ だから，$h^{\prime }(t)\geqq 0$ である。したがって $t>0$ で $h(t)\geqq h(0)=0$ となり，すべての $t>0$ に対して（＊）が成り立つ。

(2)

まず $a\geqq 2$ とする。このとき $t>0$ に対して $\frac{t}{a}\leqq \frac{t}{2}$ であるから，$e^{t/a}\leqq e^{t/2}$ である。(1)より $\frac{e^t-1}{t}\geqq e^{t/2}$ なので，（＊）が成り立つ。

次に，すべての $t>0$ で（＊）が成り立つと仮定する。$g(t)=e^t-1-t{e}^{t/a}$ とおくと，$t>0$ で $g(t)\geqq 0$ でなければならない。また $g(0)=0$，$g^{\prime }(0)=0$ であり，$g^{\prime \prime }(t)=e^t-\frac{2}{a}{e}^{t/a}-\frac{t}{a^2}{e}^{t/a}$だから，$g^{\prime \prime }(0)=1-\frac{2}{a}$ である。

もし $1<a<2$ なら $g^{\prime \prime }(0)<0$ である。$g^{\prime \prime }(t)$ は連続なので，十分小さい正の $t$ について $g^{\prime \prime }(t)<0$ となる。この範囲で $g^{\prime }(t)<g^{\prime }(0)=0$，さらに $g(t)<g(0)=0$ となり，（＊）に反する。したがって必要条件は $a\geqq 2$ である。

以上より，求める範囲は $a\geqq 2$ である。