東京工業大学 2014年度理系数学第3問解答・解説

問題

1個のさいころを投げて，出た目が1か2であれば行列 $A = (0 - 1 10)$ を，出た目が3か4であれば行列 $B = (01 - 1 0)$ を，出た目が5か6であれば行列 $C = (- 1 0 01)$ を選ぶ。そして，選んだ行列の表す1次変換によって $x y$ 平面上の点 $R$ を移すという操作を行う。

点 $R$ は最初は点 $(0, 1)$ にあるものとし，さいころを投げて点 $R$ を移す操作を $n$ 回続けて行ったときに点 $R$ が点 $(0, 1)$ にある確率を $p_{n}$ ，点 $(0, - 1)$ にある確率を $q_{n}$ とする。

(1) $p_{1}$ ， $p_{2}$ と $q_{1}$ ， $q_{2}$ を求めよ。

(2) $p_{n} + q_{n}$ と $p_{n - 1} + q_{n - 1}$ の関係式を求めよ。また， $p_{n} - q_{n}$ と $p_{n - 1} - q_{n - 1}$ の関係式を求めよ。

(3) $p_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

出典：東京工業大学 2014年度前期日程理系第3問

方針

点の位置は $(0, 1), (0, - 1), (1, 0), (- 1, 0)$ の4通りに限られる。横方向2点にいる確率を補助的に置き，縦方向にいる確率の和 $p_{n} + q_{n}$ と上下の差 $p_{n} - q_{n}$ だけに注目する。和は横方向から縦方向へ移る寄与を含むため $v_{n} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} v_{n - 1}$ ，差は横方向からの寄与が打ち消し合うため $d_{n} = \frac{1}{3} d_{n - 1}$ となる。

解答

(1)

行列 $A, B, C$ はそれぞれ等しい確率 $\frac{1}{3}$ で選ばれる。点 $(0, 1)$ は， $A$ で $(1, 0)$ へ， $B$ で $(- 1, 0)$ へ， $C$ で $(0, 1)$ へ移る。したがって $p_{1} = \frac{1}{3}, q_{1} = 0$ である。

2回後に $(0, 1)$ にあるのは，行列の選ばれ方が $(A, B), (B, A), (C, C)$ の場合である。また $(0, - 1)$ にあるのは $(A, A), (B, B)$ の場合である。よって

p_{2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}, q_{2} = \frac{2}{9}

である。

(2)

$n$ 回後に点 $(1, 0)$ にある確率を $r_{n}$ ，点 $(- 1, 0)$ にある確率を $s_{n}$ とする。各点から縦方向の2点への移り方を調べると，

p_{n} = \frac{1}{3} p_{n - 1} + \frac{1}{3} r_{n - 1} + \frac{1}{3} s_{n - 1}, q_{n} = \frac{1}{3} q_{n - 1} + \frac{1}{3} r_{n - 1} + \frac{1}{3} s_{n - 1}

である。したがって， $p_{n - 1} + q_{n - 1} + r_{n - 1} + s_{n - 1} = 1$ を用いると

p_{n} + q_{n} = \frac{1}{3} (p_{n - 1} + q_{n - 1}) + \frac{2}{3} (r_{n - 1} + s_{n - 1}) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} (p_{n - 1} + q_{n - 1})

である。また，上の2式を引くと $p_{n} - q_{n} = \frac{1}{3} (p_{n - 1} - q_{n - 1})$ である。

(3)

$v_{n} = p_{n} + q_{n}$ ， $d_{n} = p_{n} - q_{n}$ とおく。初期状態から $v_{0} = 1$ ， $d_{0} = 1$ である。(2)より

v_{n} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{3} (v_{n - 1} - \frac{1}{2}), d_{n} = \frac{1}{3} d_{n - 1}

であるから，

v_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})^{n}, d_{n} = (\frac{1}{3})^{n}

となる。 $p_{n} = \frac{v _{n} + d _{n}}{2}$ であるので， $p_{n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{3})^{n} + \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{n}$ である。

東京工業大学 2014年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2014年度
理系数学第3問