東京工業大学 2013年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ を正の実数とし，円 $C_{1} : (x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}$ と楕円 $C_{2} : x^{2} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ を考える。

(1) $C_{1}$ が $C_{2}$ に内接するための $a$ ， $b$ の条件を求めよ。

(2) $b = \frac{1}{3}$ とし， $C_{1}$ が $C_{2}$ に内接しているとする。このとき，第1象限における $C_{1}$ と $C_{2}$ の接点の座標 $(p, q)$ を求めよ。

(3) (2)の条件のもとで， $x ≧ p$ の範囲において， $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

出典：東京工業大学 2013年度前期理系第5問

方針

両曲線は $x$ 軸対称なので，上半分で円が楕円の内側にある条件を調べる。円の上半分は $y^{2} = 2 a x - x^{2}$ ，楕円の上半分は $y^{2} = b^{2} (1 - x^{2})$ であるから， $0 ≦ x ≦ 2 a$ で二次式 $F (x) = b^{2} (1 - x^{2}) - (2 a x - x^{2})$ が非負で，かつどこかで0になる条件を求める。(2)は $b = 1/ 3$ が内点接触の場合に入ることを使う。(3)は右側の閉じた部分を，楕円の面積部分から円の面積部分を引いて積分で求める。

解答

(1)

円 $C_{1}$ の上半分は $y^{2} = 2 a x - x^{2}$ $(0 ≦ x ≦ 2 a)$ ，楕円 $C_{2}$ の上半分は $y^{2} = b^{2} (1 - x^{2})$ で表される。円が楕円の内側にあるためにはまず $2 a ≦ 1$ が必要であり，さらに $0 ≦ x ≦ 2 a$ で

F (x) = b^{2} (1 - x^{2}) - (2 a x - x^{2}) = (1 - b^{2}) x^{2} - 2 a x + b^{2}

が $0$ 以上であることが必要十分である。内接するためには，この範囲で $F (x) = 0$ となる点がある。

接点が $0 < x < 2 a$ にあるとき， $F (x)$ はその点で重解をもつので， $b < 1$ かつ判別式が $0$ である。したがって

a^{2} = b^{2} (1 - b^{2}), a = b 1 - b^{2}

である。このとき接点の $x$ 座標は $a / (1 - b^{2}) = b / 1 - b^{2}$ であり，これが $0 ≦ x ≦ 2 a$ に入る条件は $b ≦ 1/ 2$ である。よって内点で接する場合は $0 < b ≦ \frac{1}{2}, a = b 1 - b^{2}$ である。

接点が右端 $x = 2 a$ にあるとき， $F (2 a) = b^{2} (1 - 4 a^{2}) = 0$ だから $a = 1/2$ である。このとき $F (x) = (1 - b^{2}) x^{2} - x + b^{2}$ が $0 ≦ x ≦ 1$ で $0$ 以上となる条件を調べると， $b ≧ 1/ 2$ である。実際， $1/ 2 ≦ b < 1$ では頂点が $x ≧ 1$ にあるので区間内で単調減少し，最小値は $F (1) = 0$ である。また $b ≧ 1$ では下に凸でないか一次式であり，端点 $F (0) = b^{2} > 0$ ， $F (1) = 0$ から区間内で非負である。

以上より，求める条件は

⎩ ⎨ ⎧ 0 < b ≦ \frac{1}{2}, a = b 1 - b^{2}, b ≧ \frac{1}{2}, a = \frac{1}{2}

である。ただし $b = 1/ 2$ では両式はいずれも $a = 1/2$ を与える。

(2)

$b = 1/ 3 < 1/ 2$ であるから，(1)より

a = b 1 - b^{2} = \frac{1}{3} \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

である。接点の $x$ 座標は

p = \frac{b}{1 - b ^{2}} = \frac{1/ 3}{2/3} = \frac{1}{2}

である。楕円の式から

q^{2} = b^{2} (1 - p^{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

であり，第1象限の接点なので $q = 1/ 6$ である。したがって $(p, q) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$ である。

(3)

(2)より $a = 2 /3$ ， $p = 1/ 2$ である。 $x ≧ p$ にある2曲線で囲まれる部分は $x$ 軸について対称である。したがってその面積を $S$ とすると，

S = 2 \int_{p}^{1} \frac{1}{3} 1 - x^{2} d x - 2 \int_{p}^{2 a} a^{2} - (x - a)^{2} d x

である。

まず $x = cos θ$ とおくと， $x = p$ で $θ = π /4$ ， $x = 1$ で $θ = 0$ であるから

2 \int_{p}^{1} \frac{1}{3} 1 - x^{2} d x = \frac{2}{3} \int_{0}^{π /4} sin^{2} θ d θ = \frac{π}{4 3} - \frac{1}{2 3}

である。

次に $x - a = a cos θ$ とおく。 $x = p$ のとき $(p - a) / a = 1/2$ なので $θ = π /3$ ， $x = 2 a$ のとき $θ = 0$ である。よって

2 \int_{p}^{2 a} a^{2} - (x - a)^{2} d x = 2 a^{2} \int_{0}^{π /3} sin^{2} θ d θ = \frac{2 π}{27} - \frac{3}{18}

である。したがって

S = (\frac{π}{4 3} - \frac{1}{2 3}) - (\frac{2 π}{27} - \frac{3}{18}) = \frac{π}{4 3} - \frac{2 π}{27} - \frac{3}{9}

である。

東京工業大学 2013年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2013年度
理系数学第5問