東京工業大学 2013年度理系数学第4問解答・解説

問題

正の整数 $n$ に対し， $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ の範囲において $sin 4 n x ≧ sin x$ を満たす $x$ の区間の長さの総和を $S_{n}$ とする。このとき， $lim_{n \to \infty} S_{n}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2013年度前期理系第4問

方針

$[0, π /2]$ を長さ $π / (2 n)$ の $n$ 個の区間に分ける。各区間で $t = 4 n x - 2 j π$ とおくと， $t$ は $[0, 2 π]$ を1回動く。 $0 ≦ x ≦ π /2$ では $sin x ≧ 0$ なので， $sin t ≧ sin x$ は $x ≦ t ≦ π - x$ と同値になる。これを $x$ の不等式に戻して各区間の長さを足し，最後に極限をとる。

解答

$j = 0, 1, \dots, n - 1$ に対して $I_{j} = [\frac{j π}{2 n}, \frac{( j + 1 ) π}{2 n}]$ とおく。 $x \in I_{j}$ のとき $t = 4 n x - 2 j π$ とおけば， $0 ≦ t ≦ 2 π$ であり， $sin 4 n x = sin t$ である。

$0 ≦ x ≦ π /2$ では $sin x ≧ 0$ であり， $0 ≦ t ≦ 2 π$ において $sin t ≧ sin x$ となるのは $x ≦ t ≦ π - x$ のときである。したがって $x \in I_{j}$ で条件をみたすことは $x ≦ 4 n x - 2 j π ≦ π - x$ と同値であり，これは $\frac{2 j π}{4 n - 1} ≦ x ≦ \frac{( 2 j + 1 ) π}{4 n + 1}$ と同値である。

ここで

\frac{j π}{2 n} ≦ \frac{2 j π}{4 n - 1}, \frac{( 2 j + 1 ) π}{4 n + 1} ≦ \frac{( j + 1 ) π}{2 n}

であり，また $0 ≦ j ≦ n - 1$ では $\frac{( 2 j + 1 ) π}{4 n + 1} - \frac{2 j π}{4 n - 1} = \frac{( 4 n - 4 j - 1 ) π}{( 4 n - 1 ) ( 4 n + 1 )} > 0$ である。よって $I_{j}$ 内で条件をみたす区間の長さは $\frac{( 4 n - 4 j - 1 ) π}{( 4 n - 1 ) ( 4 n + 1 )}$ である。

したがって

S_{n} = j = 0 \sum n - 1 \frac{( 4 n - 4 j - 1 ) π}{( 4 n - 1 ) ( 4 n + 1 )} = \frac{π}{( 4 n - 1 ) ( 4 n + 1 )} {n (4 n - 1) - 4 \cdot \frac{n ( n - 1 )}{2}} = \frac{π n ( 2 n + 1 )}{( 4 n - 1 ) ( 4 n + 1 )}

である。ゆえに

n \to \infty lim S_{n} = \frac{π}{8}

である。

東京工業大学 2013年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

東京工業大学 2013年度
理系数学第4問