問題
(1) 2次方程式 の2つの解 ， に対し， はすべての正の整数 について5の整数倍になることを示せ。
(2) 6個のさいころを同時に投げるとき，ちょうど4種類の目が出る確率を既約分数で表せ。
出典：東京工業大学 2013年度 前期 理系 第1問
方針
(1)は とおき，解と係数の関係から を得る。 が整数であることを確認したうえで， が5で割り切れることを帰納法で示す。(2)は出た目の種類4つを先に選び，固定した4種類について出現回数の型が または に限られることを使って数える。
解答
(1)
とおく。解と係数の関係より ， であるから，， である。また はともに をみたすので， に対してが成り立つ。したがって はすべて整数である。
まず ， はいずれも5で割り切れる。ある について が5で割り切れるとすると，であるから，これも5で割り切れる。よって帰納法により，すべての正の整数 について は5の整数倍である。
(2)
6個のさいころを区別して数える。出る4種類の目の選び方は 通りである。選んだ4種類を固定すると，6個の出方で4種類すべてが現れるには，出現回数の型は または である。
型 では，3回出る目の選び方が4通り，位置の選び方が 通りで， 通りである。型 では，2回ずつ出る2種類の目の選び方が 通り，位置の選び方が 通りで， 通りである。
したがって，求める場合の数は 通りである。全事象は 通りなので，求める確率はである。