問題
2次の正方行列 に対して，， と定める。
(1) 2次の正方行列 ， に対して， が成り立つことを示せ。
(2) の成分がすべて実数で， が成り立つとき， と の値を求めよ。ただし， は2次の単位行列とする。
出典：東京工業大学 2013年度 前期 理系 第2問
方針
(1)は と の成分を置いて， の成分を直接展開する。(2)ではまず (1) から を得て とする。次に2次正方行列の成分計算で を導き，この関係から を と の一次式で表して を絞る。
解答
(1)
， とおく。このとき
であるから，
となる。
(2)
(1)を繰り返し用いると， である。一方 であり， だから である。 は実数なので， である。
次に ， とすると，直接計算によりが成り立つ。いま であるから， である。これを用いて順に計算すると
となる。 よりである。
もし なら， は単位行列の実数倍である。 と書けば より であり，実数 については である。したがって となり，この場合 である。
もし なら，上の等式から も必要である。ここで
であるから，共通して成り立つ条件は である。よってを得る。
実際， で が起こる。また をみたす各 について とおけば，，，かつ上の計算から である。したがって求める値は
である。