東京工業大学 2013年度
理系数学 第3問
- 試験区分
- 前期
- 対象
- 全類
- 分野
- 指数・対数、微分、関数、方程式・不等式
- 解法
- グラフの概形、増減表、微分による最大最小、パラメータ処理、範囲評価
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 20分
問題
k を定数とするとき，方程式 ex−xe=k の異なる正の解の個数を求めよ。
出典：東京工業大学 2013年度 前期 理系 第3問
方針
f(x)=ex−xe を x>0 で調べる。微分すると f′(x)=ex−exe−1 であり，符号判定は H(x)=x−1−(e−1)logx の符号に帰着できる。H(1)=H(e)=0 と増減から，f は (0,1) で増加，(1,e) で減少，(e,∞) で増加となる。あとは limx→+0f(x)=1，f(1)=e−1，f(e)=0，x→∞ で f(x)→∞ を用いて水平線 y=k との交点数を読む。
解答
f(x)=ex−xe とおく。x>0 においてf′(x)=ex−exe−1である。ここでH(x)=x−1−(e−1)logxとおくと，exe−1ex=eH(x)であるから，f′(x) の符号は H(x) の符号と同じである。
H′(x)=1−xe−1 である。したがって H(x) は 0<x<e−1 で減少し，x>e−1 で増加する。また H(1)=0，H(e)=0 で，1<e−1<e である。よってH(x)>0(0<x<1),H(x)<0(1<x<e),H(x)>0(x>e)である。したがって f(x) は (0,1) で増加，(1,e) で減少，(e,∞) で増加する。
さらに
x→+0limf(x)=1,f(1)=e−1,f(e)=0
である。また x−elogx→∞ より ex/xe→∞ であるから，x→∞ で f(x)→∞ である。
以上より，水平線 y=k との交点数を数えると，異なる正の解の個数は
k の範囲k<0k=00<k≦11<k<e−1k=e−1k>e−1正の解の個数012321
である。
