東京工業大学 1999年度理系数学第5問解答・解説

問題

複素平面上の点列 $A_{n}$ $(n ≧ 0)$ が複素数列 $a_{n} + i b_{n}$ （ $a_{n}$ ， $b_{n}$ は実数， $i$ は虚数単位）を表すとする。極限値 $n \to \infty lim a_{n} = a_{\infty}$ ， $n \to \infty lim b_{n} = b_{\infty}$ がともに存在するとき，複素数 $a_{\infty} + i b_{\infty}$ を表す点 $A_{\infty}$ を $A_{n}$ の極限点ということにする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 複素平面上の点列 $P_{n}$ $(n ≧ 0)$ を次のように定める。 $P_{0}$ は $0$ を表す点とし， $P_{1}$ は $1 + i$ を表す点とする。以下 $n ≧ 2$ に対しては，ベクトル $P_{n - 2} P_{n - 1}$ を反時計まわりに $π /3$ 回転し，長さを $2/3$ 倍したベクトルが $P_{n - 1} P_{n}$ となるように $P_{n}$ を定める。 $P_{n}$ の極限点 $P_{\infty}$ が表す複素数を求めよ。

(2) 点列 $Q_{n}$ $(n ≧ 0)$ は次のように定める。 $Q_{0}$ は $0$ を表す点とし， $Q_{1}$ は $z = x + i y$ を表す点とする。以下 $n ≧ 2$ に対しては，ベクトル $Q_{n - 2} Q_{n - 1}$ を反時計まわりに $π /6$ 回転し，長さを $1/2$ 倍したベクトルが $Q_{n - 1} Q_{n}$ となるように $Q_{n}$ を定める。 $Q_{n}$ の極限点 $Q_{\infty}$ と (1) の $P_{\infty}$ が一致するとき $z$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1999年度前期理系第5問

方針

点そのものではなく，連続する点の差を複素数で表す。回転と拡大は一定の複素数を掛ける操作なので，差の列は等比数列になる。極限点は差の無限和で求められ，(2) は $Q_{\infty} = P_{\infty}$ から初項 $z$ を逆算する。

解答

(1)

$P_{n}$ を表す複素数を $p_{n}$ とし， $w_{n} = p_{n} - p_{n - 1}$ $(n ≧ 1)$ とおく。すると $w_{1} = 1 + i$ であり，回転と拡大の条件から

w_{n} = \frac{2}{3} (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) w_{n - 1} = \frac{1 + 3 i}{3} w_{n - 1}

である。

よって

p_{\infty} = n = 1 \sum \infty w_{n} = \frac{1 + i}{1 - \frac{1 + 3 i}{3}} = \frac{3 ( 1 + i )}{2 - 3 i}

である。分母を実数化すると

p_{\infty} = \frac{3 ( 1 + i ) ( 2 + 3 i )}{7} = \frac{3 ( 2 - 3 )}{7} + \frac{3 ( 2 + 3 )}{7} i

である。

(2)

$Q_{n}$ を表す複素数を $q_{n}$ とし， $u_{n} = q_{n} - q_{n - 1}$ とおく。すると $u_{1} = z$ であり，

u_{n} = \frac{1}{2} (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6}) u_{n - 1} = \frac{3 + i}{4} u_{n - 1}

である。したがって $q_{\infty} = \frac{z}{1 - \frac{3 + i}{4}}$ である。これが $p_{\infty}$ と一致するためには $z = p_{\infty} (1 - \frac{3 + i}{4})$ である。上で求めた $p_{\infty}$ を代入すると $z = \frac{3}{28} {(2 - 3) + (2 + 3) i} (4 - 3 - i)$ である。整理して $z = \frac{3 ( 13 - 5 3 )}{28} + \frac{9 ( 1 + 3 )}{28} i$ を得る。

東京工業大学 1999年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1999年度
理系数学第5問