東京工業大学 1999年度
理系数学 第4問
- 試験区分
- 前期
- 対象
- 全類
- 分野
- 積分、数列、論証・証明
- 解法
- 部分積分、和の計算、計算整理、恒等式比較
- 難易度
- 7 / 10 計算量 6 / 10 目安 25分
問題
2以上の自然数 n に対して
∫01t2n−1etdt+(k=1∑n−12k+12n−1P2n−2k)e=(2n−1)!
を示せ。ここで e は自然対数の底である。
出典：東京工業大学 1999年度 前期 理系 第4問
方針
m=2n−1，Ij=∫01tjetdt とおき，部分積分から Ij=e−jIj−1 を得る。これを I0=e−1 まで繰り返し，e の係数を偶奇で組にして，問題の順列記号を含む和に一致させる。
解答
m=2n−1，Ij=∫01tjetdt とおく。j≧1 について部分積分を行うとIj=e−jIj−1である。また I0=e−1 である。
これを繰り返すとIm=e−me+m(m−1)e−⋯+(−1)m−1m!e+(−1)mm!(e−1)を得る。ここで m=2n−1 は奇数であるからIm=m!+e{1−m+m(m−1)−⋯−m!}である。
中かっこの中を後ろから2項ずつ組にする。最後の2項 −m!+m! は打ち消し合う。残りについて，k=1,2,…,n−1 に対し
−(2k)!m!+(2k+1)!m!=−(2k−1)!(2k+1)m!=−2k+1mPm+1−2k
である。したがって
1−m+m(m−1)−⋯−m!=−k=1∑n−12k+1mPm+1−2k
である。
m=2n−1 に戻せば
I2n−1=(2n−1)!−ek=1∑n−12k+12n−1P2n−2k
となる。これを移項して，求める等式が示された。
