問題
3辺の長さが ，， である三角形の面積を，周上の2点を結ぶ線分で2等分する。それらの線分の長さの最小値を を用いて表せ。
方針
面積を半分にする線分は，端点がある頂点をはさむ2辺上にあると見ればよい。隣り合う2辺の長さを ，切り取る点までの距離を として，端点制約 ， のもとで を得る。余弦定理で線分長を の関数にし，各頂点ごとの最小値を比較する。
解答
三角形を とし，， とする。三角形が存在するので である。
まず一般に，面積を2等分する線分の端点は三角形の周上の2点にある。端点が乗る2辺は三角形のある頂点をはさむ2辺と見られるので，その頂点側にできる三角形の面積を全体の半分にすればすべての場合を尽くす。そこで，ある頂点をはさむ2辺の長さを ，その角を とする。この2辺上の点までの距離をそれぞれ とすると，端点制約は ， であり，面積条件は である。線分の長さを とすると
である。
頂点 の側を切り取る場合は である。余弦定理より であり，面積条件から最小は のときに起こる。したがって
である。
次に頂点 の側を切り取る場合を考える。隣り合う辺の長さは で， である。上の式で とする。
のときは が両辺上で実現できるので
である。
のときは，実現可能範囲が である一方，無制約で最小にする は より大きい。したがってこの範囲では長さ の辺の端まで使う場合が最小で，そのときもう一方は長さ だけ進む。したがって
である。頂点 についても対称性により同じである。
よって全体の最小値は， では と の比較から頂点 側で得られる。 ではより，やはり頂点 側で得られる。 ではこの差が 以下なので，頂点 または 側で得られる。
以上より，求める最小値は
である。