東京工業大学 1999年度理系数学第2問解答・解説

問題

斜辺の長さが $1$ である正 $n$ 角錐を考える。つまり，底面を正 $n$ 角形 $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ ，頂点を $O$ と表せば $O A_{1} = O A_{2} = \dots = O A_{n} = 1$ である。そのような正 $n$ 角錐のなかで最大の体積をもつものを $C_{n}$ とする。

(1) $C_{n}$ の体積 $V_{n}$ を求めよ。

(2) $n \to \infty lim V_{n}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1999年度前期理系第2問

方針

底面の外接円の半径を $r$ とおくと，高さは $1 - r^{2}$ ，底面積は $\frac{n}{2} r^{2} sin \frac{2 π}{n}$ で表せる。 $r^{2} = u$ として $u 1 - u$ を最大化し，最後に $n sin (2 π / n)$ の極限を用いる。

解答

(1)

底面の中心を $H$ ，底面の外接円の半径を $r$ とする。正 $n$ 角錐では $O H$ は底面に垂直であり， $O A_{i} = 1$ だから高さは $1 - r^{2}$ である。また底面の面積は，中心から各辺に三角形を分けて $\frac{n}{2} r^{2} sin \frac{2 π}{n}$ である。

したがって体積は $V = \frac{n}{6} sin \frac{2 π}{n} r^{2} 1 - r^{2}$ である。 $u = r^{2}$ とおくと $0 < u < 1$ で，最大化すべき部分は $u 1 - u$ である。微分すると $\frac{d}{d u} {u 1 - u} = \frac{2 - 3 u}{2 1 - u}$ であるから，最大値は $u = 2/3$ のとき $\frac{2}{3 3}$ である。よって

V_{n} = \frac{n}{6} sin \frac{2 π}{n} \cdot \frac{2}{3 3} = \frac{n sin ( 2 π / n )}{9 3}

である。

(2)

$n \to \infty$ のとき $n sin (2 π / n) \to 2 π$ であるから

n \to \infty lim V_{n} = \frac{2 π}{9 3}

である。

東京工業大学 1999年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1999年度
理系数学第2問