東京工業大学 1999年度
理系数学 第1問

解答

$x=\frac{a}{a+b}$ とおくと，$0<x<1$，$1-x=\frac{b}{a+b}$ である。したがって$\frac{B}{A}=2^{p-1}\{x^p+(1-x{)}^p\}$である。ここで $F(x)=x^p+(1-x{)}^p$ とおく。

$p=1$ のときは $F(x)=1$ であるから $A=B$ である。

$p>1$ のとき，$F^{\prime }(x)=p\{x^{p-1}-(1-x{)}^{p-1}\}$である。よって $0<x<1/2$ で $F^{\prime }(x)<0$，$1/2<x<1$ で $F^{\prime }(x)>0$ となる。したがって $F(x)$ の最小値は $x=1/2$ での $2^{1-p}$ である。ゆえに $\frac{B}{A}\geqq 1$ であり，等号は $x=1/2$，すなわち $a=b$ のときに限る。

$0<p<1$ のときは $p-1<0$ なので，上と逆に $0<x<1/2$ で $F^{\prime }(x)>0$，$1/2<x<1$ で $F^{\prime }(x)<0$ となる。したがって $F(x)$ の最大値は $x=1/2$ での $2^{1-p}$ である。ゆえに $\frac{B}{A}\leqq 1$ であり，等号は $a=b$ のときに限る。

以上より，$p>1$ では $A\leqq B$ で等号は $a=b$ のとき，$p=1$ では常に $A=B$，$0<p<1$ では $A\geqq B$ で等号は $a=b$ のときである。