東京工業大学 1994年度
理系数学 第5問
- 試験区分
- 前期
- 対象
- 全類
- 分野
- 図形と方程式、関数、微分
- 解法
- 座標設定、置換、範囲評価、微分による最大最小
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 22分
問題
放物線 y=x2 上の点 P と，放物線 y=−x2−16x−65 上の点 Q に対して，線分 PQ を考える。このとき線分 PQ の長さの最小値を求めよ。
出典：東京工業大学 1994年度 前期 理系 第5問
方針
2つ目の放物線を y=−(x+8)2−1 と見て，その横方向のずれを吸収する。P=(u,u2)，Q=(w−8,−w2−1) と置けば距離の2乗は (u−w+8)2+(u2+w2+1)2 になる。さらに p=u−w，q=u+w と変数を変えると，固定した p では q=0 が最小であることが分かる。残った1変数の4次式を微分して最小値を求める。
解答
P=(u,u2) とおく。また2つ目の放物線は y=−(x+8)2−1 であるから，Q=(w−8,−w2−1) とおける。このとき距離の2乗を D2 とするとD2=(u−w+8)2+(u2+w2+1)2である。
p=u−w，q=u+w とおくと，u2+w2=(p2+q2)/2 である。したがって
D2=(p+8)2+(2p2+q2+1)2≧(p+8)2+(2p2+1)2
であり，等号は q=0 のときに成り立つ。
そこでg(p)=(p+8)2+(2p2+1)2とおく。微分すると
g′(p)=p3+4p+16=(p+2)(p2−2p+8)
であり，p2−2p+8=(p−1)2+7>0 である。よって g(p) は p=−2 で最小となる。このとき
g(−2)=62+32=45
である。
等号条件は p=−2，q=0 であり，これは u=−1，w=1，すなわち P=(−1,1)，Q=(−7,−2) で実現する。したがって線分 PQ の長さの最小値は 35 である。
