東京工業大学 1994年度理系数学第2問解答・解説

問題

双曲線 $x y = - 2$ を $C$ とする。 $C$ 上の点 $P (t, - 2/ t)$ $(t \neq = 0)$ を，原点を中心とし反時計回りに角度 $θ$ だけ回転した点を $Q$ とする。

(1) $Q$ の座標を $θ$ と $t$ とを用いて表せ。

(2) $θ$ を固定し $P$ が $C$ 上を動くとき， $Q$ はどのような曲線をえがくか。その方程式を求めよ。

(3) $Q$ のえがく曲線が，点 $(3 + 1, 3 - 1)$ を通るような $θ$ の値を， $0 < θ < 2 π$ の範囲ですべて求めよ。

出典：東京工業大学 1994年度前期理系第2問

方針

原点中心の回転公式をそのまま用いて $Q$ の座標を出す。(2)では， $Q = (x, y)$ を逆に角 $θ$ だけ戻した点が $x y = - 2$ 上にある，という条件で方程式を作る。これにより $t$ を直接消去せずに曲線の方程式が得られる。(3)では指定点をその方程式に代入し， $cos 2 θ$ と $sin 2 θ$ の一次式を合成して $0 < θ < 2 π$ の解を列挙する。

解答

(1)

回転の公式より

Q = (t cos θ + \frac{2}{t} sin θ, t sin θ - \frac{2}{t} cos θ)

である。

(2)

$Q = (x, y)$ とする。これを角 $θ$ だけ時計回りに戻した点は $(x cos θ + y sin θ, - x sin θ + y cos θ)$ である。この点が $C$ 上にあることが必要十分条件であるから， $(x cos θ + y sin θ) (- x sin θ + y cos θ) = - 2$ である。展開すると

(cos^{2} θ - sin^{2} θ) x y + sin θ cos θ (y^{2} - x^{2}) = - 2

となる。これが $Q$ のえがく曲線の方程式である。

(3)

点 $(3 + 1, 3 - 1)$ について，

x y = 2, y^{2} - x^{2} = - 43

である。これを (2) の方程式に代入すると

2 (cos^{2} θ - sin^{2} θ) - 43 sin θ cos θ = - 2

すなわち $cos 2 θ - 3 sin 2 θ = - 1$ である。左辺を合成して $2 cos (2 θ + \frac{π}{3}) = - 1$ を得る。したがって $2 θ + π /3 = 2 π /3 + 2 k π$ または $2 θ + π /3 = 4 π /3 + 2 k π$ である。

$0 < θ < 2 π$ に入るものを選ぶと，求める値は

θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}

である。

東京工業大学 1994年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 1994年度
理系数学第2問