問題
放物線 を とし，2つの異なる点 ， は 上を動くものとする。直線 と とで囲まれる図形の面積が，一定の値 をとるとき，曲線 の における接線と における接線との交点 は，どのような曲線上を動くか。その方程式を求めよ。
出典：東京工業大学 1994年度 前期 理系 第1問
方針
点 ， の 座標をそれぞれ ， とおき，弦 と放物線で囲まれる面積を で表す。面積条件から を得る。次に2本の接線の交点を ， で表し，和と差に分けて差の条件を代入する。最後に任意の 座標に対して対応する が取れることを確認して，必要十分な軌跡にする。
解答
， とし， とする。直線 の方程式はである。したがって，直線 と放物線で囲まれる面積は
である。これが に等しいから である。
における接線は ， における接線は である。交点を とすると，2式を引いてを得る。これを接線の式に代入して である。よって
となる。
逆に任意の実数 に対し，， とすれば ， であり，面積は である。このとき接線の交点は である。したがって求める曲線は放物線 である。