問題
2つの負でない整数 ， に対して，和 を考え，これを と書くことにする。ただし とする。
(1) を満たす点 の位置を，座標平面上に図示せよ。
(2) ならば であることを示せ。
出典：東京工業大学 1994年度 前期 理系 第4問
方針
とおくと であり，固定した ごとに が連続した値を作る。(1)は だけを調べれば十分である。(2)は，固定した に対する値の区間が で，次の区間が から始まることを示し，値から ，ついで が一意に決まることを証明する。
解答
(1)
とおくと，である。 なら であるから である。
のとき 。 のとき 。 のとき であり，それぞれ の値は である。
したがって図示すべき点はである。すなわち第1象限の格子点のうち を満たす6点である。
(2)
とおく。 を固定すると であるから， の値はである。一方，であるから， に対応する値の範囲は互いに重ならず，しかも順に隙間なく並ぶ。
よって の値から が一意に定まる。さらにその に対して が一意に定まり， も一意に定まる。したがって ならば である。