東京工業大学 1994年度理系数学第3問解答・解説

問題

(1) 定積分 $\int_{0}^{π} e^{- x} sin x d x$ を求めよ。

(2) 極限値 $n \to \infty lim \int_{0}^{nπ} e^{- x} ∣ sin x ∣ d x$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1994年度前期理系第3問

方針

(1)は部分積分を2回行うか，原始関数 $- e^{- x} (sin x + cos x) /2$ を確認して評価する。(2)は区間 $[k π, (k + 1) π]$ ごとに $x = k π + u$ とおくと， $∣ sin x ∣ = sin u$ ，指数部分は $e^{- k π}$ 倍になる。よって (1) の値を初項とする等比数列の和に帰着する。

解答

(1)

\int e^{- x} sin x d x = - \frac{1}{2} e^{- x} (sin x + cos x)

であるから，

\int_{0}^{π} e^{- x} sin x d x = [- \frac{1}{2} e^{- x} (sin x + cos x)]_{0}^{π} = \frac{1 + e ^{- π}}{2}

である。

(2)

$k = 0, 1, \dots, n - 1$ に対し，区間 $[k π, (k + 1) π]$ で $x = k π + u$ とおくと，

\int_{k π}^{(k + 1) π} e^{- x} ∣ sin x ∣ d x = e^{- k π} \int_{0}^{π} e^{- u} sin u d u = e^{- k π} \cdot \frac{1 + e ^{- π}}{2}

である。したがって

\int_{0}^{nπ} e^{- x} ∣ sin x ∣ d x = \frac{1 + e ^{- π}}{2} k = 0 \sum n - 1 e^{- k π} = \frac{1 + e ^{- π}}{2} \cdot \frac{1 - e ^{- nπ}}{1 - e ^{- π}}

となる。よって求める極限値は $\frac{1 + e ^{- π}}{2 ( 1 - e ^{- π} )}$ である。

東京工業大学 1994年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1994年度
理系数学第3問