東京工業大学 1993年度
理系数学 第5問

解答

$\overrightarrow{OP}=(x_1,x_2)$，$\overrightarrow{OQ}=(x_3,-x_4)$ であるから，$\angle POQ$ が鋭角である条件は$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=x_1{x}_3-x_2{x}_4>0$すなわち $x_1{x}_3>x_2{x}_4$ である。

2個のサイコロの目の積を $m$ とする。積 $m$ を作る順序つき組の個数を $N(m)$ とすると，$N(m)$ は次の通りである。

したがって，2つの積が等しくなる場合の数は

である。

$(x_1,x_3)$ と $(x_2,x_4)$ はどちらも36通りで同じ分布をもつ。積が異なる場合は，$x_1{x}_3>x_2{x}_4$ と $x_1{x}_3<x_2{x}_4$ が対称に同数ずつある。よって鋭角になる場合の数は$\frac{36^2-86}{2}=605$である。全事象は $6^4=1296$ 通りなので，求める確率は$605/1296$である。