東京工業大学 1993年度理系数学第2問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする。

(1) $x \to 0 lim \frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{sin x}$ を求めよ。

(2) $\int_{0}^{π /2} \frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{sin x} d x = \frac{π}{2}$ を示せ。

出典：東京工業大学 1993年度前期理系第2問

方針

(1) は $sin y / y \to 1$ を用いて直ちに求める。(2) は $sin (2 r + 1) x - sin (2 r - 1) x = 2 cos 2 r x sin x$ を $r = 1, 2, \dots, n$ で足し，商を $1 + 2 \sum_{r = 1}^{n} cos 2 r x$ に直す。余弦の定積分がすべて $0$ になることを確認して結論を得る。

解答

(1)

\frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{sin x} = (2 n + 1) \frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{( 2 n + 1 ) x} \cdot \frac{x}{sin x}

であるから， $x \to 0$ として求める極限値は $2 n + 1$ である。

(2)

$r = 1, 2, \dots, n$ について $sin (2 r + 1) x - sin (2 r - 1) x = 2 cos 2 r x sin x$ である。これを足し合わせると

sin (2 n + 1) x - sin x = 2 sin x r = 1 \sum n cos 2 r x

となる。したがって $0 < x ≦ π /2$ で

\frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{sin x} = 1 + 2 r = 1 \sum n cos 2 r x

である。右辺は連続関数なので，この式を用いて積分できる。

よって

\int_{0}^{π /2} \frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{sin x} d x = \int_{0}^{π /2} (1 + 2 r = 1 \sum n cos 2 r x) d x = \frac{π}{2} + 2 r = 1 \sum n [\frac{sin 2 r x}{2 r}]_{0}^{π /2} = \frac{π}{2}

である。

東京工業大学 1993年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1993年度
理系数学第2問