東京工業大学 1993年度理系数学第1問解答・解説

問題

原点 $(0, 0)$ を通る2つの放物線と直線をそれぞれ

C_{1} : y = a x^{2} + b x (a \neq = 0), C_{2} : y = p x^{2} + q x (p \neq = 0), L : y = k x (k \neq = b, k \neq = q)

とし， $C_{1}$ と $L$ で囲まれる部分の面積を $S_{1}$ ， $C_{2}$ と $L$ で囲まれる部分の面積を $S_{2}$ とする。このとき， $S_{1}$ と $S_{2}$ の比が $k$ によらないための必要十分条件を求めよ。

出典：東京工業大学 1993年度前期理系第1問

方針

一般に放物線 $y = A x^{2} + B x$ と直線 $y = k x$ が囲む部分の面積を，交点の $x$ 座標 $0$ と $(k - B) / A$ を用いて求める。これを $(A, B) = (a, b)$ ， $(p, q)$ に適用して $S_{1} / S_{2}$ を $k$ の式にし，その絶対値比が定数になるための条件を必要性と十分性の両方から調べる。

解答

一般に $A \neq = 0$ とし，放物線 $y = A x^{2} + B x$ と直線 $y = k x$ を考える。 $k \neq = B$ のとき，交点の $x$ 座標は $0$ と $(k - B) / A$ である。よって囲まれる部分の面積を $S (A, B; k)$ とすると，

S (A, B; k) = \int_{0}^{(k - B) / A} {k x - (A x^{2} + B x)} d x = \int_{0}^{(k - B) / A} x (k - B - A x) d x = \frac{∣ k - B ∣ ^{3}}{6 A ^{2}}

である。

したがって

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{p ^{2}}{a ^{2}} \frac{k - b}{k - q}^{3}

である。もし $b = q$ ならば， $k \neq = b$ に対して $S_{1} / S_{2} = p^{2} / a^{2}$ となり，これは $k$ によらない。

逆に $b \neq = q$ とする。 $k = (b + q) /2$ では $∣ (k - b) / (k - q) ∣ = 1$ である。一方， $k = (2 b + q) /3$ では $∣ (k - b) / (k - q) ∣ = 1/2$ である。いずれも $b, q$ と異なるので， $S_{1} / S_{2}$ は同じ値にならない。よって比は $k$ によらないとはいえない。

以上より，求める必要十分条件は $b = q$ である。

東京工業大学 1993年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 1993年度
理系数学第1問