東京工業大学 1993年度
理系数学 第4問

解答

多項式の次数について帰納法で証明する。0次多項式の場合は定数なので明らかである。

$n\geqq 1$ とし，$n-1$ 次以下の多項式について主張が成り立つと仮定する。$P(x)$ を $n$ 次多項式とし，$P(0),P(1),\dots ,P(n)$ がすべて整数であるとする。

$Q(x)=P(x+1)-P(x)$ とおく。$Q(x)$ は $n-1$ 次以下の多項式であり，$j=0,1,\dots ,n-1$ に対して$Q(j)=P(j+1)-P(j)$は整数である。したがって帰納法の仮定より，すべての整数 $k$ に対して $Q(k)$ は整数である。

$k\geqq 1$ のときは

であるから整数である。$k=0$ では仮定より整数である。$k\leqq -1$ のときは

であるから，やはり整数である。

以上より，すべての整数 $k$ に対して $P(k)$ は整数である。