東京工業大学 1993年度理系数学第3問解答・解説

問題

4次曲線 $C : y = x^{4} - 2 a x^{2}$ $(a > 0)$ 上の動点 $P = (t, t^{4} - 2 a t^{2})$ が $- a ≦ t ≦ a$ の範囲で動く。 $P$ での $C$ の接線と $C$ との交点を $P$ ， $Q = (α, α^{4} - 2 a α^{2})$ ， $R = (β, β^{4} - 2 a β^{2})$ とする。ただし， $α ≦ β$ とする。

(1) $α + β$ ， $α β$ を $a$ と $t$ で表せ。

(2) 3点 $P$ ， $Q$ ， $R$ が接線上 $Q$ ， $P$ ， $R$ の順になるための条件を求めよ。

(3) 線分 $\overline{QR}$ の長さを $L$ とする。 $L^{2}$ を $a$ と $t$ で表せ。

(4) $a = \frac{7}{12}$ のとき， $L$ の最大値を求めよ。

出典：東京工業大学 1993年度前期理系第3問

方針

まず $f (x) = x^{4} - 2 a x^{2}$ とおき， $x = t$ における接線との差を因数分解する。接点 $x = t$ が重解になるので，残りの2次方程式の解が $α, β$ である。(2) は $α = - t - 2 (a - t^{2})$ ， $β = - t + 2 (a - t^{2})$ として $α < t < β$ を調べる。(3) は同じ接線上の2点なので，水平差と接線の傾きから距離を出す。(4) は $u = a - t^{2}$ に置き換え，1変数関数の最大値を微分で求める。

解答

(1)

$f (x) = x^{4} - 2 a x^{2}$ とおくと， $f^{'} (t) = 4 t^{3} - 4 a t$ である。 $P$ における接線と $C$ との交点の $x$ 座標は $f (x) - {f (t) + f^{'} (t) (x - t)} = 0$ を満たす。左辺を因数分解すると $f (x) - {f (t) + f^{'} (t) (x - t)} = (x - t)^{2} (x^{2} + 2 t x + 3 t^{2} - 2 a)$ である。したがって $α, β$ は $x^{2} + 2 t x + 3 t^{2} - 2 a = 0$ の2解であるから，解と係数の関係より $α + β = - 2 t$ ， $α β = 3 t^{2} - 2 a$ である。

(2)

$- a ≦ t ≦ a$ であるから， $s = 2 (a - t^{2})$ とおける。このとき $α = - t - s$ ， $β = - t + s$ である。接線は縦線ではないので，接線上の順序は $x$ 座標の順序と一致する。したがって $Q, P, R$ の順になる条件は $α < t < β$ である。

これは $- t - s < t < - t + s$ ，すなわち $- s < 2 t < s$ と同値である。よって $4 t^{2} < s^{2} = 2 (a - t^{2})$ であり，整理して $t^{2} < a /3$ を得る。したがって条件は $- a /3 < t < a /3$ である。

(3)

接線の傾きを $m$ とすると， $m = 4 t (t^{2} - a)$ である。また $(β - α)^{2} = 8 (a - t^{2})$ である。 $Q$ と $R$ は同じ接線上にあるので，水平差が $β - α$ のとき鉛直差は $m (β - α)$ である。したがって

L^{2} = (β - α)^{2} (1 + m^{2}) = 8 (a - t^{2}) {1 + 16 t^{2} (a - t^{2})^{2}}

である。

(4)

$a = 7/12$ とし， $u = a - t^{2}$ とおく。 $- a ≦ t ≦ a$ より $0 ≦ u ≦ 7/12$ である。(3) から $L^{2} = 8 u {1 + 16 (\frac{7}{12} - u) u^{2}}$ である。右辺を $F (u)$ とおくと

F^{'} (u) = 8 (1 + 28 u^{2} - 64 u^{3}) = - 8 (u - \frac{1}{2}) (64 u^{2} + 4 u + 2)

である。ここで $64 u^{2} + 4 u + 2 > 0$ なので， $F (u)$ は $0 ≦ u < 1/2$ で増加し， $1/2 < u ≦ 7/12$ で減少する。よって最大は $u = 1/2$ のときである。

このとき $L^{2} = F (1/2) = 16/3$ であるから， $L$ の最大値は $43 /3$ である。

東京工業大学 1993年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東京工業大学 1993年度
理系数学第3問