東京工業大学 1992年度理系数学第5問解答・解説

問題

$n = 1, 2, \dots$ に対し

I_{n} = (- 1)^{n} \int_{0}^{π /4} \frac{x cos ( 2 n - 1 ) x}{cos x} d x

とおく。

(1) $I_{n} - I_{n - 1}$ を求めよ。

(2) $I_{3}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1992年度前期理系第5問

方針

差 $I_{n} - I_{n - 1}$ では符号 $(- 1)^{n}$ をそろえると，分子に $cos (2 n - 1) x + cos (2 n - 3) x$ が現れる。和積公式で $2 cos (2 n - 2) x cos x$ として分母を消し，あとは $\int x cos a x d x$ を部分積分で評価する。(2) は $I_{1}$ を直接求め，(1) の結果を $n = 2, 3$ に適用して足し合わせる。

解答

(1)

$n ≧ 2$ とする。定義より

I_{n} - I_{n - 1} = (- 1)^{n} \int_{0}^{π /4} \frac{x { cos ( 2 n - 1 ) x + cos ( 2 n - 3 ) x }}{cos x} d x = 2 (- 1)^{n} \int_{0}^{π /4} x cos (2 n - 2) x d x

である。ここで $r = 2 n - 2$ とおくと， $\int x cos r x d x = \frac{x sin r x}{r} + \frac{cos r x}{r ^{2}}$ であるから，

I_{n} - I_{n - 1} = 2 (- 1)^{n} [\frac{x sin ( 2 n - 2 ) x}{2 n - 2} + \frac{cos ( 2 n - 2 ) x}{( 2 n - 2 ) ^{2}}]_{0}^{π /4} = (- 1)^{n} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{π sin \frac{( n - 1 ) π}{2}}{4 ( n - 1 )} + \frac{cos \frac{( n - 1 ) π}{2} - 1}{2 ( n - 1 ) ^{2}} ⎭ ⎬ ⎫

である。

(2)

まず

I_{1} = - \int_{0}^{π /4} x d x = - \frac{π ^{2}}{32}

である。(1) の結果から

I_{2} - I_{1} = \frac{π}{4} - \frac{1}{2}, I_{3} - I_{2} = \frac{1}{4}

である。したがって

I_{3} = I_{1} + (I_{2} - I_{1}) + (I_{3} - I_{2}) = - \frac{π ^{2}}{32} + \frac{π}{4} - \frac{1}{4}

である。

東京工業大学 1992年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1992年度
理系数学第5問