東京工業大学 1992年度理系数学第4問解答・解説

問題

変数 $0 ≦ x < 1$ の関数 $f (x)$ を次のように定義する。

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x 2 x - 1 (0 ≦ x < \frac{1}{2}), (\frac{1}{2} ≦ x < 1) .

さらに $f_{1} (x) = f (x)$ とおき， $f_{n} (x)$ を $f_{n} (x) = f (f_{n - 1} (x))$ $(n = 2, 3, 4, \dots)$ と定義する。

(1) $f_{3} (x)$ のグラフを描き， $f_{3} (x)$ を式で表せ。

(2) $k$ と $m$ を $1 ≦ k ≦ 2^{m} - 1$ を満たす自然数とし， $p = \frac{k}{2 ^{m}}$ とおく。極限値 $n \to \infty lim \frac{f _{1} ( p ) + \dots + f _{n} ( p )}{n}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1992年度前期理系第4問

方針

$f (x)$ は $2 x$ から整数部分を除いて $[0, 1)$ に戻す写像である。これを3回繰り返すと， $8 x$ から整数部分を除いた値になるため， $[j /8, (j + 1) /8)$ ごとに $8 x - j$ と表せる。(2) では一般に $f_{n} (x)$ が $2^{n} x$ の整数部分を除いた値であることを用い， $p = k / 2^{m}$ では $n ≧ m$ 以後すべて $0$ になることから平均の極限を求める。

解答

(1)

$0 ≦ x < 1$ に対し， $f (x)$ は $2 x$ が $1$ 以上になったとき $1$ を引いて $[0, 1)$ に戻す関数である。したがって3回繰り返すと， $8 x$ から整数部分を除いた値になる。よって

f_{3} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 8 x 8 x - 1 8 x - 2 8 x - 3 8 x - 4 8 x - 5 8 x - 6 8 x - 7 (0 ≦ x < \frac{1}{8}), (\frac{1}{8} ≦ x < \frac{2}{8}), (\frac{2}{8} ≦ x < \frac{3}{8}), (\frac{3}{8} ≦ x < \frac{4}{8}), (\frac{4}{8} ≦ x < \frac{5}{8}), (\frac{5}{8} ≦ x < \frac{6}{8}), (\frac{6}{8} ≦ x < \frac{7}{8}), (\frac{7}{8} ≦ x < 1)

である。グラフは各区間 $[j /8, (j + 1) /8)$ $(j = 0, 1, \dots, 7)$ 上で $(j /8, 0)$ から傾き $8$ で右上がりに進み，右端の直前で $1$ に近づく8本の線分からなる。

(2)

一般に， $2^{n} x = q + r$ $(q$ は整数， $0 ≦ r < 1)$ と表したとき $f_{n} (x) = r$ である。これは $n = 1$ では定義そのものであり， $n - 1$ で成り立つとき，さらに $f$ を作用させると2倍して整数部分を除くので $n$ でも成り立つ。

いま $p = k / 2^{m}$ であるから， $n ≧ m$ なら $2^{n} p = k 2^{n - m}$ は整数である。したがって $n ≧ m$ では $f_{n} (p) = 0$ である。

よって任意の $N ≧ m$ に対して

\frac{f _{1} ( p ) + \dots + f _{N} ( p )}{N} = \frac{f _{1} ( p ) + \dots + f _{m - 1} ( p )}{N}

であり，分子は $N$ によらない定数である。したがって求める極限値は $0$ である。

東京工業大学 1992年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1992年度
理系数学第4問