問題
の関数 が 以外の整数値をとらないような定数 の値の範囲を求めよ。
出典：東京工業大学 1992年度 前期 理系 第1問
方針
整数値 をとる条件を方程式 が実数解をもつ条件に直す。判別式から が必要になるので，整数 に対する右辺の最大値を調べる。最後に では実際に値 をとること， ではどの整数 もとれないことを確認する。
解答
整数 に対し，この関数が値 をとると仮定する。このとき であるから，整理して
を得る。したがって実数解をもつためには が必要である。
整数 について右辺を調べる。 なら である。 ならであり，最大は のときの である。よってすべての整数 に対して実数解をもたないためには が十分である。
逆に とする。 とおくと，上の方程式はとなり，判別式は であるから実数解をもつ。 ならその解は であり，この方程式を満たす解では分母 である。 のときも解 を選べば分母は である。したがって関数は整数値 をとってしまう。
以上より求める範囲は である。