東京工業大学 1992年度理系数学第3問解答・解説

問題

$c > 1$ を定数とする。 $x y$ 平面で，点 $(1, c)$ を通る直線 $l$ と放物線 $y = x^{2}$ で囲まれる図形の面積を最小にする $l$ の傾きを求めよ。またその最小面積を求めよ。

出典：東京工業大学 1992年度前期理系第3問

方針

直線を傾き $m$ を用いて $y = m x + c - m$ とおく。放物線との交点の $x$ 座標を $α, β$ とすると，囲まれる面積は $(β - α)^{3} /6$ で表せる。したがって面積を最小にすることは交点間の距離 $β - α$ を最小にすることに帰着し，2次方程式の判別式を $m$ で最小化する。

解答

直線 $l$ の傾きを $m$ とすると， $(1, c)$ を通るから $l : y = m x + c - m$ である。放物線 $y = x^{2}$ との交点の $x$ 座標を $α < β$ とする。交点は $x^{2} = m x + c - m$ ，すなわち $x^{2} - m x + m - c = 0$ の2つの実数解である。この方程式の判別式は

D = m^{2} - 4 (m - c) = (m - 2)^{2} + 4 (c - 1) > 0

であるから，常に2交点をもつ。

$α, β$ の間では直線が放物線の上にあるので，囲まれる面積 $S$ は

S = \int_{α}^{β} {m x + c - m - x^{2}} d x = \int_{α}^{β} (x - α) (β - x) d x = \frac{( β - α ) ^{3}}{6}

である。また $β - α = D$ であるから， $S$ を最小にするには $D$ を最小にすればよい。

$D = (m - 2)^{2} + 4 (c - 1)$ は $m = 2$ のとき最小値 $4 (c - 1)$ をとる。したがって求める傾きは $2$ である。このとき $β - α = 2 c - 1$ であるから，最小面積は $\frac{( 2 c - 1 ) ^{3}}{6} = \frac{4}{3} (c - 1) c - 1$ である。

東京工業大学 1992年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

東京工業大学 1992年度
理系数学第3問