問題
行列 による 平面の1次変換 が次の2つの性質をもつとき， を のみを用いて表せ。
(1) 点 に対して が成り立つ。
(2) 平面上の点 および に対して，， から原点 と を通る直線への垂線をそれぞれ ， とするとき， が のとり方によらず成り立つ。
出典：東京工業大学 1992年度 前期 理系 第2問
方針
直線 は なので，点 からこの直線までの距離は である。まず から ， を得る。この条件のもとで の座標差 を の係数倍にし，距離がすべての で等しい条件を係数の絶対値が であることに帰着する。
解答
とすると である。
条件 より である。したがって ， と書ける。
直線 は であるから，点 からこの直線までの距離は である。よって条件 (2) は，すべての に対してが成り立つことと同値である。ここで
である。したがってすべての で距離が等しいための条件は である。
よって または である。 のとき ， だから
である。 のとき ， だから
である。
逆にこれら2つの形はいずれも ，， を満たすので，条件 (1)，(2) を満たす。したがって求める行列は上の2通りである。