問題
サイコロを3回振って出た目を ，， とする。このとき，方程式 が少なくとも1個の整数解をもつ確率を求めよ。
出典：東京工業大学 1991年度 前期 理系 第5問
方針
整数解 があるなら，方程式は最高次係数が なので は の正の約数に限られる。負の整数は代入値が常に負になるため解にならない。そこで とおき，条件 を に直して， ごとに の個数を数える。最後に，2つの整数解をもつ場合の重複を1回だけ補正する。
解答
整数解を とする。 ならであるから解にならない。したがって は正の整数である。また方程式は最高次係数が なので， は の約数であり，特に である。
とおくと， は正の整数で を満たす。方程式に を代入するとであるからである。よって， ごとに ，， を満たす組を数える。
したがって，整数解 を指定して数えた総数はである。
ただし，2つ以上の整数解をもつ場合は重複して数えている。正の整数解が2つ以上あるなら，3つの解は正の整数で，その積は ，和は ，2つずつの積の和は である。この条件を満たし，かつ異なる整数解を含むものは根が の場合だけで，このときである。これは と で2回数えられている。
よって条件を満たす の個数は である。全事象は 通りであるから，求める確率はである。