問題
空間内の 平面上の直線 を楕円 ， の接線とする。直線 と点 を含む平面 が 軸と交わる点 を とするとき， のとり得る値の範囲を求めよ。
出典：東京工業大学 1991年度 前期 理系 第2問
方針
楕円の接線を，接点 ， を用いて と表す。求める平面は 平面との交線がこの接線なので，方程式を とおける。与えられた点を通る条件から を求め， 軸との交点 を の範囲で評価する。
解答
楕円 の接点を とおくと， であり，その接線はと書ける。したがって平面 は，ある実数 を用いてと表される。
この平面が を通るからであり，である。 軸上では だから，交点の 座標はである。
ここで よりである。したがってであり，この範囲で は正である。よってとなる。整理して，求める範囲はである。等号はそれぞれ ， の接線で実現する。