問題
関数 について次の問いに答えよ。
(1) が で増加するような点 の範囲 を図示せよ。
(2) における の逆関数を とする。点 が を動くとき，定積分 の最小値を求めよ。
出典：東京工業大学 1991年度 前期 理系 第4問
方針
(1)では が で常に負にならない条件を，二次式の頂点が定義域の外にある場合と内にある場合に分けて求める。(2)では ， に注目し，逆関数の積分を長方形の面積から を引く形へ変換する。得られた一次式を (1) の領域上で最小化する。
解答
(1)
である。 が で増加するための必要十分条件は，この二次式が で常に 以上となることである。
のとき，頂点の 座標 は 以下であるから， での最小値は でとる。よって，すなわち である。
のとき，頂点の 座標 は正である。したがって頂点での値が 以上であることが必要十分であり，すなわち である。
よって
である。図では， 側は直線 以上， 側は放物線 以上の領域であり，境界を含む。
(2)
では は で増加し，また，である。したがって逆関数の面積関係よりである。ここで
だからである。
この式は について増加するので，最小値は各 に対して の下側境界で調べればよい。 では としてとなり，最小値は で である。
では としてとなる。これは で最小値 をとり，そのとき である。以上より，求める最小値はである。