東京工業大学 1991年度理系数学第3問解答・解説

問題

$- 1 < a < 1$ とする。2点 $A (2, 0)$ ， $B (- 2, 0)$ から半円 $(x - a)^{2} + y^{2} = 1$ ， $y ≧ 0$ に2本の接線を引き，接点をそれぞれ $C$ ， $D$ とする。線分 $A C$ ，円弧 $C D$ ，線分 $D B$ ， $B A$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を $a$ で表せ。

出典：東京工業大学 1991年度前期理系第3問

方針

円の中心を $(a, 0)$ とし，右側の外点 $A$ から中心までの距離を $d_{R} = 2 - a$ ，左側を $d_{L} = 2 + a$ とおく。外点から円への接線の傾きと接点の $x$ 座標を $d_{R}, d_{L}$ で表し，回転体の体積を $π \int y^{2} d x$ で計算する。左右それぞれで接線部分と円弧部分を組にして簡約すると，計算が対称的にまとまる。

解答

円の中心を $O = (a, 0)$ とし， $d_{L} = a + 2$ ， $d_{R} = 2 - a$ とおく。条件 $- 1 < a < 1$ より $d_{L} > 1$ ， $d_{R} > 1$ である。

まず右側を考える。 $A (2, 0)$ からの接線を $y = m (2 - x)$ とおくと，中心 $O$ からこの直線までの距離が $1$ であるから $\frac{m d _{R}}{m ^{2} + 1} = 1$ である。よって $m^{2} = \frac{1}{d _{R}^{2} - 1}$ である。接点は中心から接線に下ろした垂線の足であり，直線 $m x + y - 2 m = 0$ への垂線の足を計算すると，その $x$ 座標は $a + \frac{m ^{2} d _{R}}{m ^{2} + 1} = a + \frac{1}{d _{R}}$ である。したがって接点 $C$ では $x - a = \frac{1}{d _{R}}$ となる。同様に左側の接線は $y = \frac{x + 2}{d _{L}^{2} - 1}$ で，接点 $D$ では $x - a = - \frac{1}{d _{L}}$ となる。

求める体積を $V$ とする。左側の接線部分と円弧部分のうち $x ≦ a$ の寄与をまとめると

\int_{- 2}^{a - 1/ d_{L}} \frac{( x + 2 ) ^{2}}{d _{L}^{2} - 1} d x + \int_{a - 1/ d_{L}}^{a} {1 - (x - a)^{2}} d x

である。第1項では上端で $x + 2 = d_{L} - 1/ d_{L}$ となるので，

\frac{( d _{L}^{2} - 1 ) ^{2}}{3 d _{L}^{3}} + (\frac{1}{d _{L}} - \frac{1}{3 d _{L}^{3}}) = \frac{1}{3} (d_{L} + \frac{1}{d _{L}})

である。右側も同様に

\int_{a}^{a + 1/ d_{R}} {1 - (x - a)^{2}} d x + \int_{a + 1/ d_{R}}^{2} \frac{( 2 - x ) ^{2}}{d _{R}^{2} - 1} d x = \frac{1}{3} (d_{R} + \frac{1}{d _{R}})

である。

したがって

\frac{V}{π} = \frac{1}{3} (d_{L} + \frac{1}{d _{L}} + d_{R} + \frac{1}{d _{R}}) = \frac{1}{3} (4 + \frac{1}{a + 2} + \frac{1}{2 - a}) = \frac{1}{3} (4 + \frac{4}{4 - a ^{2}})

となる。よって $V = \frac{4 π ( 5 - a ^{2} )}{3 ( 4 - a ^{2} )}$ である。

東京工業大学 1991年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

東京工業大学 1991年度
理系数学第3問