問題
を正の整数とする。10進法で表した について，1の位から の位までの数字がすべて で， の位の数字が でないとき，関数 の値を とする。このとき，次の値を求めよ。
(1) ，
(2)
出典：東京工業大学 1991年度 前期 理系 第1問
方針
の末尾に並ぶ の個数は， に含まれる素因数 の個数である。素因数 は素因数 より多く現れるので， の倍数が与える の個数を数える。(2)では に含まれる の個数を で割り，整数部分を取ることによる誤差が に近づくことを評価する。
解答
(1)
の末尾の の個数は， に含まれる素因数 の個数に等しい。したがってである。また， では の倍数が 個， の倍数が 個あり，それ以上の の累乗の倍数はないからである。
(2)
に含まれる素因数 の個数は， の倍数の個数を重複分だけ加えて数えればよい。 とし， を を満たす整数とする。また， を 以下の の倍数の個数とする。このときであり，各 についてが成り立つ。
よって
である。ここで ，かつ であるから，右辺は に近づく。したがってである。