問題
平面上の楕円 の外にある点 からこの楕円に2本の接線を引く。その接点を ， とし と によって分けられた楕円の2つの弧のうち に近い方を とする。このとき，次の2つの条件
(i) は点 を含む。
(ii)
を満たすような の存在範囲を図示し，その面積を求めよ。
方針
楕円 を で単位円に直す。ただし角度はこの変換で保存されないので，接点の座標は変換後の単位円で表し， の内積は元の 座標で計算する。条件 (i) は接点を与える2つのパラメータの間に右端点が入る条件として になる。条件 (ii) は内積 に直し，変換後の極座標で面積積分を行う。
解答
点 を とし，，， とおく。 は楕円の外にあるから である。楕円上の点をと表す。この点における接線はであるから，この接線が を通る条件はである。
， とおくと，接点のパラメータはを満たす2点である。 を として，近い方の弧は から までの弧である。右端点 は に対応するので，条件 (i) は であり，これは，すなわち と同値である。
次に条件 (ii) を調べる。変換後の単位円上の接点を ， とする。これらは直線 と単位円の交点であるから
と書ける。元の座標では接点は ，，点 である。したがって計算すると
である。 より， は
と同値である。
ここで変換後の平面で極座標 ， を用いる。上の条件 (ii) は
すなわちとなる。また条件 (i) は である。したがって存在範囲は，変換後の 平面で
で表される領域であり，元の 平面では ， により横方向を 倍した図形である。すなわち の線分と，の右側の弧で囲まれる， 軸対称な領域である。ただし楕円上の点自身は の条件から除くが，面積には影響しない。
変換後の面積を とすると
である。ここで第1項では とおいた。元の 平面の面積は変換後の面積の 倍であるから，求める面積はである。