問題
平面において，楕円 の周上で の部分を とする。また2つの円 ， の周上で の部分をそれぞれ ， とする。このとき ，， 上の動点 ，， に対し線分 と の長さの和の最大値を求めよ。
出典：東京工業大学 1990年度 前期 理系 第3問
方針
固定した に対し，円 上で が最大になる点は，中心 から見て と反対側の円周上の点である。この点は下半円上にある。同様に についても処理すると，最大化すべき量は楕円の焦点から までの距離の和に を足したものになる。
解答
円 の中心を ，円 の中心を とする。
を 上に固定する。円 の半径は であるから，円周上の点 についてである。等号は， から見て と反対方向の円周上の点を とするときに成り立つ。 は にあるので，この点 は の半円上にある。したがって を動かしたときの の最大値は である。
同様に， を 上で動かしたときの の最大値は である。よって，固定した に対する の最大値はである。
楕円 は長半径 ，短半径 であり，焦点は ，すなわち である。楕円上の点 について焦点からの距離の和は長軸の長さ に等しい。したがってである。
実際に各 について上の等号を満たす は存在するから，求める最大値は である。