東京工業大学 1990年度理系数学第1問解答・解説

問題

$x$ ， $y$ ， $z$ ， $w$ を正数とする。任意の正の整数 $m$ ， $n$ に対して

(x^{\frac{1}{m}} + y^{\frac{1}{m}})^{n} + (z^{\frac{1}{m}} + w^{\frac{1}{m}})^{n} = {(x^{\frac{n}{m}} + z^{\frac{n}{m}})^{\frac{1}{n}} + (y^{\frac{n}{m}} + w^{\frac{n}{m}})^{\frac{1}{n}}}^{n}

が成り立つための必要十分条件を求めよ。

出典：東京工業大学 1990年度前期理系第1問

方針

任意の $m, n$ に対する等式なので，必要条件は特に $m = 1, n = 2$ を代入して得る。そこで現れる平方根の等式を平方し，コーシー・シュワルツの等号条件に相当する $x w = y z$ を導く。十分性は $x / y = z / w$ とおき，各 $m, n$ で両辺が同じ形に因数分解されることを直接確かめる。

解答

求める条件は $x w = y z$ であることを示す。

まず，条件の等式が任意の正の整数 $m, n$ で成り立つなら，特に $m = 1, n = 2$ として

(x + y)^{2} + (z + w)^{2} = (x^{2} + z^{2} + y^{2} + w^{2})^{2}

である。両辺を展開して共通部分を消すと $x y + z w = (x^{2} + z^{2}) (y^{2} + w^{2})$ となる。両辺は正であるから平方して $(x^{2} + z^{2}) (y^{2} + w^{2}) - (x y + z w)^{2} = 0$ を得る。左辺は $(x w - y z)^{2}$ であるから，必要条件として $x w = y z$ が従う。

逆に $x w = y z$ とする。正数であるから，ある正数 $λ$ を用いて $x = λ y$ ， $z = λ w$ と書ける。正の整数 $m, n$ に対し， $A = λ^{1/ m}$ ， $B = y^{1/ m}$ ， $C = w^{1/ m}$ とおくと

(x^{\frac{1}{m}} + y^{\frac{1}{m}})^{n} + (z^{\frac{1}{m}} + w^{\frac{1}{m}})^{n} = (A B + B)^{n} + (A C + C)^{n} = (A + 1)^{n} (B^{n} + C^{n})

である。一方，右辺は

{(A^{n} B^{n} + A^{n} C^{n})^{\frac{1}{n}} + (B^{n} + C^{n})^{\frac{1}{n}}}^{n} = {A (B^{n} + C^{n})^{\frac{1}{n}} + (B^{n} + C^{n})^{\frac{1}{n}}}^{n} = (A + 1)^{n} (B^{n} + C^{n})

となり，左辺と一致する。したがって $x w = y z$ は十分である。

以上より，必要十分条件は $x w = y z$ である。

東京工業大学 1990年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 1990年度
理系数学第1問