東京工業大学 1990年度理系数学第4問解答・解説

問題

$0 < x < \frac{π}{2}$ で定義された関数

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{d θ}{cos θ} + \int_{x}^{\frac{π}{2}} \frac{d θ}{sin θ}

の最小値を求めよ。

出典：東京工業大学 1990年度前期理系第4問

方針

積分区間の端点に変数があるので，まず $f^{'} (x) = 1/ cos x - 1/ sin x$ を求めて増減を調べる。最小点は $x = π /4$ になる。値の計算では $\int d θ / cos θ$ と $\int d θ / sin θ$ を，半角または標準的な変形で評価する。

解答

$0 < x < \frac{π}{2}$ で微分すると

f^{'} (x) = \frac{1}{cos x} - \frac{1}{sin x} = \frac{sin x - cos x}{sin x cos x}

である。この範囲では $sin x cos x > 0$ であるから， $f^{'} (x) < 0$ は $0 < x < \frac{π}{4}$ ， $f^{'} (x) > 0$ は $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ で成り立つ。したがって $f (x)$ は $x = \frac{π}{4}$ で最小となる。

次にその値を求める。 $\frac{1}{cos θ} = \frac{cos θ}{1 - sin ^{2} θ}$ より

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d θ}{cos θ} = [\frac{1}{2} lo g \frac{1 + sin θ}{1 - sin θ}]_{0}^{\frac{π}{4}} = lo g (1 + 2)

である。また $\frac{1}{sin θ} = \frac{sin θ}{1 - cos ^{2} θ}$ より

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{d θ}{sin θ} = [- \frac{1}{2} lo g \frac{1 + cos θ}{1 - cos θ}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} = lo g (1 + 2)

となる。よって最小値は $2 lo g (1 + 2)$ である。

東京工業大学 1990年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

東京工業大学 1990年度
理系数学第4問