東京工業大学 1990年度理系数学第2問解答・解説

問題

$x_{i}$ $(i = 1, 2, \dots, n)$ を正数とし， $i = 1 \sum n x_{i} = k$ を満たすとする。このとき不等式 $i = 1 \sum n x_{i} lo g x_{i} ≧ k lo g \frac{k}{n}$ を証明せよ。

出典：東京工業大学 1990年度前期理系第2問

方針

平均 $a = k / n$ で割って $t_{i} = x_{i} / a$ とおく。 $\sum t_{i} = n$ となるので，基本不等式 $t lo g t ≧ t - 1$ を微分で証明して各 $t_{i}$ に適用する。最後に等号成立条件も確認する。

解答

$a = \frac{k}{n}$ ， $t_{i} = \frac{x _{i}}{a}$ とおく。 $x_{i} > 0$ かつ $k = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} > 0$ であるから $a > 0$ ， $t_{i} > 0$ であり，また $\sum_{i = 1}^{n} t_{i} = n$ である。

ここで $t > 0$ に対し $g (t) = t lo g t - t + 1$ とおくと， $g^{'} (t) = lo g t$ である。したがって $0 < t < 1$ で $g^{'} (t) < 0$ ， $t > 1$ で $g^{'} (t) > 0$ となり， $g (t)$ は $t = 1$ で最小値 $g (1) = 0$ をとる。よって $t lo g t ≧ t - 1$ がすべての $t > 0$ で成り立つ。

これを各 $t_{i}$ に適用すると

i = 1 \sum n x_{i} lo g x_{i} = i = 1 \sum n a t_{i} lo g (a t_{i}) = a i = 1 \sum n t_{i} lo g t_{i} + a lo g a i = 1 \sum n t_{i}

である。上の不等式より $\sum_{i = 1}^{n} t_{i} lo g t_{i} ≧ \sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - 1) = 0$ だから

i = 1 \sum n x_{i} lo g x_{i} ≧ a lo g a \cdot n = k lo g \frac{k}{n}

となる。よって求める不等式は証明された。なお等号はすべての $i$ で $t_{i} = 1$ ，すなわち $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = k / n$ のときに限る。

東京工業大学 1990年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

東京工業大学 1990年度
理系数学第2問