東京工業大学 1988年度理系数学第5問解答・解説

問題

$n \to \infty lim (\frac{_{3 n} C _{n}}{_{2 n} C _{n}})^{\frac{1}{n}}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1988年度前期理系第5問

方針

組合せを階乗で表し， $_{3 n} C_{n} /_{2 n} C_{n}$ を $\frac{2 n + k}{n + k}$ 型の $n$ 個の因子の積に直す。正の数列なので対数をとり， $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} lo g \frac{2 + k / n}{1 + k / n}$ を連続関数の区分求積の極限として評価する。

解答

$A_{n} = \frac{_{3 n} C _{n}}{_{2 n} C _{n}}$ とおく。階乗で表すと

A_{n} = \frac{( 3 n )!}{n ! ( 2 n )!} \cdot \frac{n ! n !}{( 2 n )!} = \frac{( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) \dots ( 3 n )}{( n + 1 ) ( n + 2 ) \dots ( 2 n )}

である。したがって

A_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 1} \cdot \frac{2 n + 2}{n + 2} \dots \frac{3 n}{2 n}

である。

両辺の対数をとると

\frac{1}{n} lo g A_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n lo g \frac{2 n + k}{n + k} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n lo g \frac{2 + k / n}{1 + k / n}

である。関数 $lo g \frac{2 + x}{1 + x}$ は $[0, 1]$ で連続であるから，区分求積法により

n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g A_{n} = \int_{0}^{1} lo g \frac{2 + x}{1 + x} d x

である。

ここで

\int_{0}^{1} lo g \frac{2 + x}{1 + x} d x = \int_{0}^{1} lo g (2 + x) d x - \int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x = {3 lo g 3 - 3 - (2 lo g 2 - 2)} - {2 lo g 2 - 2 - (1 lo g 1 - 1)} = 3 lo g 3 - 4 lo g 2 = lo g \frac{27}{16}

である。よって

n \to \infty lim A_{n}^{1/ n} = \frac{27}{16}

である。

東京工業大学 1988年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

東京工業大学 1988年度
理系数学第5問