東京工業大学 1988年度
理系数学 第2問
- 試験区分
- 前期
- 対象
- 全類
- 分野
- 関数、微分、方程式・不等式
- 解法
- 式変形、範囲評価、必要十分条件、文字消去
- 難易度
- 5 / 10 計算量 3 / 10 目安 12分
問題
関数 f(x)=ax2+bx+c は ∣x∣≦1 で ∣f(x)∣≦1 を満たしている。このとき，f(x) の導関数 f′(x) について，
(1) ∣f′(1)∣≦4 を示せ。
(2) ∣f′(1)∣=4 となる f(x) をすべて求めよ。
出典：東京工業大学 1988年度 前期 理系 第2問
方針
2次式は −1,0,1 での値により一意に定まる。f(−1),f(0),f(1) を用いて f′(1) を表し，各値が [−1,1] に入ることから線形評価を行う。等号成立時は線形評価の等号条件から3点の値を決定し，対応する2次式を求めて条件を確認する。
解答
(1)
u=f(1)，v=f(0)，w=f(−1) とおく。仮定より ∣u∣≦1，∣v∣≦1，∣w∣≦1 である。
f(x)=ax2+bx+c について，u=a+b+c，v=c，w=a−b+c であるからa=2u+w−2v，b=2u−w である。したがってf′(1)=2a+b=23u+w−4v となる。よって∣f′(1)∣≦23∣u∣+∣w∣+4∣v∣≦4である。
(2)
f′(1)=4 となるためには，上の評価で等号が成り立つ必要がある。係数の符号から，これは u=1，w=1，v=−1 のときに限る。この3点を通る2次式は f(x)=2x2−1 であり，このとき ∣x∣≦1 で −1≦2x2−1≦1，また f′(1)=4 である。
同様に f′(1)=−4 となるためには u=−1，w=−1，v=1 が必要十分である。この3点を通る2次式は f(x)=1−2x2 であり，∣x∣≦1 で −1≦1−2x2≦1，また f′(1)=−4 である。
以上より，求める関数は f(x)=2x2−1，f(x)=1−2x2 である。
